Решение: Переходный процесс в RL-цепи
Катушка, обладающая индуктивностью $L$, соединена последовательно с источником постоянного тока с ЭДС $\mathcal{E}$ и резисторами $R_1$ и $R_2$, имеющими одинаковое сопротивление $R_1=R_2=R$, как показано на рисунке. В начальный момент ключ в цепи разомкнут. Как изменятся сила тока в цепи и напряжение на участке цепи, содержащем резистор $R_1$, после замыкания ключа? Ответ поясните, опираясь на законы электродинамики. Внутренним сопротивлением источника тока и сопротивлением катушки пренебречь.
Решение по шагам
5 шаговПри разомкнутом ключе ток проходит через оба резистора, соединённых последовательно. Поэтому сопротивление внешней цепи равно $2R$.
$$I_0=\frac{\mathcal{E}}{R_1+R_2}=\frac{\mathcal{E}}{2R}$$Напряжение на резисторе $R_1$ до замыкания ключа определяется законом Ома.
$$U_{R_1,0}=I_0R_1=\frac{\mathcal{E}}{2}$$После замыкания ключ шунтирует резистор $R_2$, поэтому в установившемся режиме сопротивление цепи становится равным $R_1=R$.
$$I_\infty=\frac{\mathcal{E}}{R}$$При замыкании ключа сила тока не может измениться мгновенно: изменение тока вызвало бы ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_{\text{си}}=-L\frac{dI}{dt}$, препятствующую этому изменению. Поэтому сразу после замыкания ток сохраняет прежнее значение $I_0$, а затем постепенно возрастает до $I_\infty$.
$$I(0^+)=I(0^-)=\frac{\mathcal{E}}{2R}$$Напряжение на резисторе $R_1$ также сначала сохраняет прежнее значение, а затем возрастает вместе с током. В установившемся режиме всё напряжение источника приходится на резистор $R_1$.
$$U_{R_1}(0^+)=\frac{\mathcal{E}}{2},\qquad U_{R_1,\infty}=I_\infty R=\mathcal{E}$$После замыкания ключа резистор $R_2$ шунтируется, поэтому сила тока в цепи возрастает от $\frac{\mathcal{E}}{2R}$ до $\frac{\mathcal{E}}{R}$, а напряжение на $R_1$ возрастает от $\frac{\mathcal{E}}{2}$ до $\mathcal{E}$. Из-за самоиндукции оба изменения происходят не мгновенно: ток сразу после замыкания сохраняет прежнее значение и затем увеличивается.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что ток мгновенно возрастает до значения $\frac{\mathcal{E}}{R}$.
Не учитывать, что замкнутый ключ шунтирует резистор $R_2$.
Утверждать, что напряжение на $R_1$ сразу становится равным $\mathcal{E}$.
Забывать о противодействии ЭДС самоиндукции изменению силы тока.