Решение: Нагрев газа при движении поршня
В вакууме закреплён горизонтальный цилиндр. В цилиндре находится $1\ \text{л}$ гелия, запертого поршнем при давлении $100\ \text{кПа}$ и температуре $300\ \text{К}$. Поршень массой $90\ \text{г}$ удерживается упорами и может скользить влево вдоль стенок цилиндра без трения. В поршень попадает пуля массой $10\ \text{г}$, летящая горизонтально со скоростью $300\ \text{м/с}$, и застревает в нём. Какова будет температура гелия в момент остановки поршня в крайнем левом положении? Считать, что за время движения поршня газ не успевает обменяться теплотой с цилиндром и поршнем.
Решение по шагам
6 шаговВо время попадания пули в поршень применяем закон сохранения импульса. Поршень до столкновения покоится, а пуля застревает в поршне.
$$m v_0=(M+m)u$$Находим скорость поршня с пулей сразу после столкновения:
$$u=\frac{m v_0}{M+m}=\frac{0{,}010\cdot300}{0{,}090+0{,}010}=30\ \text{м/с}$$После столкновения система движется и сжимает гелий. Теплообмена с окружающими телами нет, а в конечный момент поршень снова покоится. Поэтому кинетическая энергия системы переходит во внутреннюю энергию гелия:
$$\Delta U=\frac{(M+m)u^2}{2}=\frac{0{,}100\cdot30^2}{2}=45\ \text{Дж}$$Количество вещества гелия в начальном состоянии:
$$\nu=\frac{pV}{RT}=\frac{100000\cdot0{,}001}{8{,}31\cdot300}\approx0{,}0401\ \text{моль}$$Гелий — одноатомный идеальный газ, поэтому изменение его внутренней энергии равно:
$$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)$$Отсюда находим конечную температуру:
$$T_2=T_1+\frac{2\Delta U}{3\nu R}=300+\frac{2\cdot45}{3\cdot0{,}0401\cdot8{,}31}\approx390\ \text{К}$$Температура гелия в момент остановки поршня равна $T_2\approx390\ \text{К}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать массу поршня при применении закона сохранения импульса.
Считать, что вся начальная кинетическая энергия пули передаётся газу, не учитывая неупругое столкновение.
Использовать формулу внутренней энергии двухатомного газа вместо формулы для одноатомного гелия.
Забыть перевести литры в кубические метры и граммы в килограммы.