Решение: Равновесие цилиндра на плоскости
Цилиндр массой $m = 1\ \text{кг}$ и радиусом $R = 20\ \text{см}$, на который намотана нерастяжимая невесомая нить, положили на неподвижную наклонную плоскость, а конец нити прикрепили к вертикальной стенке. Нить не скользит по цилиндру, параллельна наклонной плоскости и перпендикулярна оси цилиндра. Коэффициент трения между цилиндром и плоскостью $\mu = 0{,}5$. При каком максимальном угле наклона плоскости к горизонту $\alpha$ цилиндр находится в равновесии? Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на цилиндр. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение по шагам
10 шаговНа цилиндр действуют сила тяжести $mg$, нормальная реакция плоскости $N$, сила натяжения нити $T$, направленная вверх вдоль плоскости, и сила трения $f$, направленная вверх вдоль плоскости. Силу трения направляем вверх, поскольку без неё момент силы натяжения вращал бы цилиндр по часовой стрелке.
$$mg,\ N,\ T,\ f$$Так как цилиндр находится в равновесии, сумма моментов сил относительно его центра равна нулю. Силы $T$ и $f$ имеют плечо $R$ и создают противоположные моменты.
$$TR - fR = 0$$Следовательно, сила трения равна силе натяжения нити.
$$f = T$$Условие равновесия в направлении вдоль наклонной плоскости:
$$T + f - mg\sin\alpha = 0$$С учётом равенства $f = T$ получаем:
$$2f = mg\sin\alpha$$В направлении, перпендикулярном плоскости, ускорение равно нулю, поэтому:
$$N = mg\cos\alpha$$При максимальном угле сила трения достигает предельного значения $f_{\max} = \mu N$. Поэтому:
$$\frac{mg\sin\alpha}{2} = \mu mg\cos\alpha$$После сокращения на $mg\cos\alpha$ получаем:
$$\tan\alpha = 2\mu = 2\cdot 0{,}5 = 1$$Следовательно, максимальный угол наклона плоскости равен:
$$\alpha_{\max} = \arctan 1 = 45^\circ$$Использование уравнений равновесия твёрдого тела обосновано тем, что цилиндр покоится в инерциальной системе отсчёта. Закон сухого трения применён в предельной форме, поскольку определяется максимальный угол, при котором равновесие ещё возможно. Условие отсутствия проскальзывания нити позволяет считать момент силы натяжения равным $TR$.
$\alpha_{\max} = 45^\circ$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать равенство моментов сил относительно центра цилиндра.
Направить силу трения вниз по плоскости и не обосновать её направление.
Использовать условие $f = \mu N$ не для предельного случая, а для любого угла.
Считать, что сила натяжения не создаёт момента относительно центра цилиндра.
Не указать нормальную реакцию плоскости на схематическом рисунке.