Решение: Соскальзывание бруска с доски
На гладком горизонтальном столе лежит доска массой $M = 1\ \text{кг}$ и длиной $L = 50\ \text{см}$. На левом краю доски находится маленький брусок массой $m = 200\ \text{г}$. Брусок и доска связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый гладкий блок, закреплённый на стене. Отрезки нити, не лежащие на блоке, горизонтальны. Коэффициент трения между бруском и доской $\mu = 0{,}2$. Брусок начинают тянуть вправо горизонтальной силой $F = 1{,}2\ \text{Н}$. Через какое время $t$ после начала движения брусок соскользнёт с доски? Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на тела. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение по шагам
11 шаговРассмотрим брусок и доску как материальные тела. Стол гладкий, поэтому горизонтальная сила сопротивления действует только между бруском и доской. Так как сила $F$ направлена вправо, брусок скользит вправо относительно доски, а сила трения направлена на брусок влево, на доску — вправо.
$$f = \mu N = \mu mg$$По вертикали ускорения отсутствуют, поэтому для бруска $N = mg$. Сила трения скольжения равна
$$f = \mu mg = 0{,}2 \cdot 0{,}2 \cdot 10 = 0{,}4\ \text{Н}$$Обозначим ускорение бруска вправо через $a$. Из условия нерастяжимости нити ускорение доски направлено влево и по модулю равно $a$.
Запишем второй закон Ньютона для бруска в горизонтальном направлении. Здесь $T$ — сила натяжения нити.
$$F - f - T = ma$$Для доски выберем положительным направление вправо. Её ускорение равно $-a$, поэтому
$$f - T = -Ma$$Сложим уравнения движения. Сила натяжения исключается:
$$F - 2f = (m + M)a$$Найдём ускорение бруска:
$$a = \frac{F - 2f}{m + M} = \frac{1{,}2 - 2\cdot 0{,}4}{0{,}2 + 1} = \frac{1}{3}\ \text{м/с}^2$$Изначально брусок находится у левого края доски. Относительное ускорение бруска относительно доски равно сумме модулей ускорений:
$$a_{\text{отн}} = a - (-a) = 2a = \frac{2}{3}\ \text{м/с}^2$$До соскальзывания брусок должен переместиться относительно доски на длину $L = 0{,}5\ \text{м}$. Начальная относительная скорость равна нулю:
$$L = \frac{a_{\text{отн}}t^2}{2} = at^2$$Отсюда время движения до соскальзывания равно
$$t = \sqrt{\frac{L}{a}} = \sqrt{\frac{0{,}5}{1/3}} = \sqrt{1{,}5} \approx 1{,}22\ \text{с}$$На рисунке сил следует показать для бруска силы тяжести $mg$, реакцию опоры $N$, силу $F$ вправо, силу трения $f$ и силу натяжения $T$ влево. Для доски следует показать силу тяжести $Mg$, реакции стола, силу трения вправо и силу натяжения нити влево. Применение законов Ньютона обосновано тем, что тела движутся с постоянными массами в инерциальной системе отсчёта, а нить невесома и нерастяжима.
Брусок соскользнёт с доски через $t \approx 1{,}22\ \text{с}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать силу трения в уравнении движения доски.
Считать ускорения бруска и доски направленными в одну сторону.
Использовать относительное ускорение $a$ вместо $2a$.
Забыть, что брусок проходит относительно доски расстояние $L = 0{,}5\ \text{м}$.