Решение: Колебания грузов на пружинах
На рисунке приведены зависимости координат $x$ двух грузов 1 и 2 от времени $t$ в процессе их малых колебаний на гладкой горизонтальной плоскости. Грузы имеют одинаковую массу $m$ и прикреплены к пружинам жёсткостью $k_1$ (груз 1) и жёсткостью $k_2$ (груз 2). Колебания груза 1 обозначены сплошной линией, груза 2 — пунктиром. Выберите все верные утверждения о движении грузов.
Графики координат двух грузов в зависимости от времени. Саму картинку ещё готовим — у остальных задач темы она на месте.
Решение по шагам
5 шаговПо графику максимумы сплошной и пунктирной кривых повторяются через одинаковые промежутки времени, поэтому периоды грузов равны.
$$T_1=T_2$$Период колебаний груза на пружине определяется формулой $T=2\pi\sqrt{m/k}$. При одинаковых массах и периодах жёсткости пружин одинаковы.
$$T_1=T_2 \Rightarrow k_1=k_2$$Амплитуда груза 1 равна $2\,\text{см}$, а амплитуда груза 2 — $1\,\text{см}$, поэтому амплитуды не одинаковы.
$$A_1=2A_2$$Максимальная кинетическая энергия равна полной энергии колебаний: $E_{k\,\max}=\frac12 kA^2$. Так как жёсткости одинаковы, отношение энергий определяется квадратом отношения амплитуд.
$$\frac{E_{k1\,\max}}{E_{k2\,\max}}=\frac{k_1A_1^2}{k_2A_2^2}=\frac{(2A_2)^2}{A_2^2}=4$$Максимальные потенциальные энергии также относятся как квадраты амплитуд, поэтому они не одинаковы.
Где здесь ошибаются
Считать, что одинаковые периоды означают одинаковые амплитуды.
Сравнивать максимальные энергии только по амплитудам, не учитывая жёсткость пружин.
Забывать, что энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды.