Решение: Резонанс в колебательном контуре
К колебательному контуру подсоединили источник тока, на клеммах которого напряжение гармонически меняется с циклической частотой $\omega_\text{и} = 2 \cdot 10^4\ \text{с}^{-1}$. Ёмкость $C$ конденсатора колебательного контура можно плавно менять в пределах от $2{,}5\ \text{нФ}$ до $1\ \text{мкФ}$, а индуктивность его катушки $L = 0{,}04\ \text{Гн}$.
Ученик постепенно уменьшал ёмкость конденсатора от максимального значения до минимального и обнаружил, что амплитуда силы тока в контуре сперва возрастала, достигала некоего максимального значения и затем уменьшалась. Какое явление наблюдал ученик? Опираясь на свои знания по электродинамике, объясните наблюдения ученика.
Решение по шагам
6 шаговВ контуре возникают вынужденные электромагнитные колебания тока под действием внешнего источника, напряжение которого изменяется с циклической частотой $\omega_\text{и}$.
Собственная циклическая частота колебательного контура равна:
$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$При уменьшении ёмкости конденсатора собственная частота контура увеличивается. В некоторый момент она становится равной частоте источника.
$$\omega_0 = \omega_\text{и}$$Найдём ёмкость, при которой происходит совпадение частот:
$$C_\text{рез} = \frac{1}{L\omega_\text{и}^2} = \frac{1}{0{,}04 \cdot (2 \cdot 10^4)^2} = 6{,}25 \cdot 10^{-8}\ \text{Ф} = 62{,}5\ \text{нФ}$$Полученное значение находится между $2{,}5\ \text{нФ}$ и $1\ \text{мкФ}$, поэтому при постепенном уменьшении ёмкости ученик действительно проходит через резонанс. При резонансе амплитуда вынужденного тока достигает максимума, поскольку реактивные сопротивления катушки и конденсатора компенсируют друг друга, а полное сопротивление цепи минимально.
$$X_L = X_C,\quad Z = R,\quad I_\text{max} = \frac{U_\text{max}}{R}$$При дальнейшем уменьшении ёмкости собственная частота становится больше частоты источника, компенсация реактивных сопротивлений нарушается, полное сопротивление увеличивается, и амплитуда тока уменьшается.
Ученик наблюдал резонанс вынужденных электромагнитных колебаний. Резонанс наступает при $C_\text{рез} = 62{,}5\ \text{нФ}$, когда $\omega_0 = \omega_\text{и}$. В этот момент реактивные сопротивления катушки и конденсатора компенсируют друг друга, полное сопротивление минимально, а амплитуда тока максимальна. До резонанса при уменьшении $C$ ток возрастает, после резонанса — уменьшается.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать резонанс с затухающими свободными колебаниями.
Использовать формулу собственной частоты без корня: $\omega_0 = 1/(LC)$.
Не проверить, попадает ли резонансная ёмкость в заданный диапазон.
Утверждать, что после резонанса частота контура уменьшается при уменьшении ёмкости.