Решение: Отрыв шайбы от трубы
Небольшая шайба после удара скользит вверх по наклонной плоскости из точки А. В точке касания В наклонная плоскость без излома переходит в наружную поверхность горизонтальной трубы радиусом $R = 0{,}4\ \text{м}$. Если в точке А скорость шайбы превосходит $v_0 = 4\ \text{м/с}$, то в точке В шайба отрывается от опоры. Длина наклонной плоскости $AB$ равна $L = 1\ \text{м}$, угол наклона $\alpha = 30^\circ$. Найдите коэффициент трения $\mu$ между наклонной плоскостью и шайбой.
Решение по шагам
6 шаговВ предельном случае, когда скорость шайбы в точке А равна $v_0$, шайба начинает отрываться в точке В. Следовательно, реакция опоры в точке В равна нулю.
$$N_B = 0$$В точке В шайба движется по наружной поверхности трубы. Проекция силы тяжести на направление к центру трубы равна $mg\cos\alpha$. Поэтому из второго закона Ньютона в радиальном направлении получаем:
$$mg\cos\alpha = \frac{mv_B^2}{R}$$Скорость шайбы в точке В в предельном случае равна:
$$v_B^2 = gR\cos\alpha$$При движении по наклонной плоскости сила трения совершает работу $A_{\text{тр}} = -\mu mgL\cos\alpha$, а шайба поднимается на высоту $L\sin\alpha$. По закону сохранения энергии:
$$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_B^2}{2} + mgL\sin\alpha + \mu mgL\cos\alpha$$Подставим условие отрыва $v_B^2 = gR\cos\alpha$ и выразим коэффициент трения:
$$\mu = \frac{v_0^2 - gR\cos\alpha - 2gL\sin\alpha}{2gL\cos\alpha}$$При $g = 10\ \text{м/с}^2$, $v_0 = 4\ \text{м/с}$, $R = 0{,}4\ \text{м}$, $L = 1\ \text{м}$, $\alpha = 30^\circ$:
$$\mu = \frac{16 - 10\cdot0{,}4\cdot\cos30^\circ - 2\cdot10\cdot1\cdot\sin30^\circ}{2\cdot10\cdot1\cdot\cos30^\circ} \approx 0{,}23$$$\mu \approx 0{,}23$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что в момент отрыва сила реакции опоры направлена к центру окружности.
Не учитывать работу силы трения на наклонной плоскости.
Использовать высоту подъёма $L$ вместо $L\sin\alpha$.
Не учитывать, что радиальная составляющая силы тяжести равна $mg\cos\alpha$.