Решение: Открытие предохранительного клапана
В цилиндр объёмом $0{,}5\ \text{м}^3$ закачивается воздух со скоростью $0{,}002\ \text{кг/с}$. В верхнем торце цилиндра есть отверстие, закрытое предохранительным клапаном. Клапан удерживается в закрытом состоянии стержнем длиной $0{,}5\ \text{м}$, который может свободно поворачиваться вокруг оси в точке А (см. рисунок). К свободному концу стержня подвешен груз массой $2\ \text{кг}$. Определите момент времени, когда клапан откроется, если в начальный момент времени давление воздуха в цилиндре было равно атмосферному. Площадь закрытого клапаном отверстия $5\ \text{см}^2$, расстояние АВ равно $0{,}1\ \text{м}$. Температура воздуха в цилиндре и снаружи не меняется и равна $300\ \text{К}$. Стержень и клапан считать невесомыми.
Решение по шагам
5 шаговРассмотрим равновесие стержня относительно оси в точке А. Сила давления клапана на стержень действует на расстоянии $AB = 0{,}1\ \text{м}$, а сила тяжести груза — на расстоянии $AC = 0{,}5\ \text{м}$.
$$F\cdot AB = mg\cdot AC$$Сила, с которой воздух действует на клапан, определяется избыточным давлением относительно атмосферного: $F = \Delta p\,S$.
$$\Delta p\,S\cdot AB = mg\cdot AC$$Принимая $g = 10\ \text{м/с}^2$ и $S = 5\ \text{см}^2 = 5\cdot10^{-4}\ \text{м}^2$, найдём необходимое избыточное давление.
$$\Delta p = \frac{mg\,AC}{S\,AB} = \frac{2\cdot10\cdot0{,}5}{5\cdot10^{-4}\cdot0{,}1} = 2\cdot10^5\ \text{Па}$$Так как температура и объём воздуха постоянны, увеличение давления связано с увеличением массы воздуха. Для удельной газовой постоянной воздуха $R_{\text{уд}} \approx 287\ \text{Дж/(кг\cdot К)}$.
$$\Delta p\,V = \Delta m\,R_{\text{уд}}T$$Масса воздуха закачивается со скоростью $\mu = 0{,}002\ \text{кг/с}$, поэтому $\Delta m = \mu t$. Отсюда время до открытия клапана:
$$t = \frac{\Delta p\,V}{R_{\text{уд}}T\mu} = \frac{2\cdot10^5\cdot0{,}5}{287\cdot300\cdot0{,}002} \approx 5{,}8\cdot10^2\ \text{с}$$Клапан откроется примерно через $5{,}8\cdot10^2\ \text{с}$, то есть через 9,7 мин.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют полное давление воздуха вместо избыточного давления.
Не учитывают плечи сил относительно точки А.
Подставляют площадь отверстия в квадратных сантиметрах без перевода в квадратные метры.
Используют универсальную газовую постоянную вместо удельной газовой постоянной воздуха.