Решение: Протон в поле конденсатора
Протон влетает в электрическое поле конденсатора параллельно его пластинам в точке, находящейся посередине между пластинами (см. рисунок). Найдите минимальную скорость $v$, с которой протон должен влететь в конденсатор, чтобы затем вылететь из него. Длина пластин конденсатора $5\ \text{см}$, расстояние между пластинами $1\ \text{см}$, напряжённость электрического поля конденсатора $5000\ \text{В/м}$. Поле внутри конденсатора считать однородным, силой тяжести пренебречь.
Решение по шагам
7 шаговНа протон действует электрическая сила $F = eE$, поэтому его ускорение в направлении к отрицательной пластине равно:
$$a = \frac{F}{m_p} = \frac{eE}{m_p}$$Для минимальной скорости протон должен пролететь внутри конденсатора по предельной траектории: у правого края он касается противоположной пластины. Вертикальное перемещение равно половине расстояния между пластинами:
$$y = \frac{d}{2}$$Время движения протона между краями пластин определяется горизонтальным движением:
$$t = \frac{L}{v}$$Используем формулу перемещения при равноускоренном движении по вертикали:
$$\frac{d}{2} = \frac{at^2}{2}$$Подставляя $a = \dfrac{eE}{m_p}$ и $t = \dfrac{L}{v}$, получаем:
$$\frac{d}{2} = \frac{1}{2}\frac{eE}{m_p}\frac{L^2}{v^2}$$Отсюда минимальная начальная скорость равна:
$$v = L\sqrt{\frac{eE}{m_p d}}$$Подставим значения $L = 0{,}05\ \text{м}$, $d = 0{,}01\ \text{м}$, $E = 5000\ \text{В/м}$, $e = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{Кл}$ и $m_p = 1{,}67\cdot10^{-27}\ \text{кг}$:
$$v = 0{,}05\sqrt{\frac{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot5000}{1{,}67\cdot10^{-27}\cdot0{,}01}} \approx 3{,}5\cdot10^5\ \text{м/с}$$Минимальная скорость протона: $v_{\min} \approx 3{,}5\cdot10^5\ \text{м/с}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют в качестве вертикального перемещения всё расстояние между пластинами вместо половины расстояния.
Забывают, что время движения внутри конденсатора равно $L/v$.
Направляют силу на положительную пластину, хотя протон имеет положительный заряд и движется к отрицательной пластине.
Не учитывают, что минимальная скорость соответствует касанию противоположной пластины ровно у края конденсатора.