Решение: Равновесие тяжёлого поршня
Закрытый вертикальный цилиндрический сосуд, заполненный идеальным газом, разделён на две части тяжёлым поршнем, способным скользить без трения. В начальном равновесном состоянии в верхней и нижней частях сосуда находилось по $\nu = 1$ моль газа, а отношение объёмов верхней и нижней частей сосуда было равно 2. После того как из верхней части сосуда полностью откачали газ, через длительный промежуток времени установилось новое состояние равновесия. Найдите отношение объёмов верхней и нижней частей сосуда после откачки газа. Температура газа $T$ в обеих частях сосуда всё время поддерживалась одинаковой и постоянной.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим начальные объёмы верхней и нижней частей через $V_{\text{в}}$ и $V_{\text{н}}$. По условию $V_{\text{в}}=2V_{\text{н}}$. Так как температура и количество газа в обеих частях одинаковы, из уравнения идеального газа следует:
$$p_{\text{в}}V_{\text{в}}=p_{\text{н}}V_{\text{н}}$$С учётом отношения объёмов начальные давления связаны соотношением:
$$p_{\text{н}}=2p_{\text{в}}$$Для поршня в равновесии разность давлений снизу и сверху уравновешивает его вес. Эта разность постоянна, поскольку масса поршня и площадь его поверхности не изменяются:
$$p_{\text{н}}-p_{\text{в}}=\frac{mg}{S}$$После откачки газа из верхней части давление над поршнем равно нулю. Поэтому давление газа в нижней части после установления равновесия равно начальной разности давлений:
$$p'_{\text{н}}=p_{\text{н}}-p_{\text{в}}=\frac12p_{\text{н}}$$В нижней части количество газа и температура не изменились, поэтому $pV=\text{const}$. Следовательно, объём нижней части увеличился в два раза:
$$p_{\text{н}}V_{\text{н}}=p'_{\text{н}}V'_{\text{н}},\qquad V'_{\text{н}}=2V_{\text{н}}$$Объём сосуда постоянен. Его начальный объём равен $V_{\text{в}}+V_{\text{н}}=3V_{\text{н}}$. Поэтому после перемещения поршня:
$$V'_{\text{в}}=3V_{\text{н}}-2V_{\text{н}}=V_{\text{н}}$$Находим искомое отношение объёмов:
$$\frac{V'_{\text{в}}}{V'_{\text{н}}}=\frac{V_{\text{н}}}{2V_{\text{н}}}=\frac12$$\dfrac{V'_{\text{в}}}{V'_{\text{н}}}=\dfrac12
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать давления над и под тяжёлым поршнем одинаковыми.
Забыть, что после откачки давление в верхней части равно нулю.
Не учитывать постоянство полного объёма сосуда.
Использовать одинаковые давления в начальном состоянии, несмотря на наличие тяжёлого поршня.