Решение: Столкновение брошенных шариков
Пластилиновый шарик в момент $t=0$ бросают с горизонтальной поверхности Земли с начальной скоростью $\vec v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту. Одновременно с некоторой высоты над поверхностью Земли начинает падать из состояния покоя другой такой же шарик. Шарики абсолютно неупруго сталкиваются в воздухе. Сразу после столкновения скорость шариков направлена горизонтально. В какой момент времени $\tau$ шарики упадут на Землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение по шагам
7 шаговДля первого шарика вертикальная координата и вертикальная составляющая скорости до столкновения равны:
$$y_1=v_0\sin\alpha\,t-\frac{gt^2}{2},\quad v_{1y}=v_0\sin\alpha-gt$$Для второго шарика, падающего из состояния покоя, вертикальная составляющая скорости в момент столкновения равна:
$$v_{2y}=-gt$$После абсолютно неупругого столкновения шарики движутся вместе. По закону сохранения импульса их общая вертикальная скорость равна:
$$v_y=\frac{v_{1y}+v_{2y}}{2}=\frac{v_0\sin\alpha-2gt}{2}$$Сразу после столкновения скорость горизонтальна, поэтому вертикальная составляющая общей скорости равна нулю:
$$\frac{v_0\sin\alpha-2gt_1}{2}=0,\quad t_1=\frac{v_0\sin\alpha}{2g}$$Высота столкновения определяется по движению первого шарика:
$$h=v_0\sin\alpha\,t_1-\frac{gt_1^2}{2}=\frac{3v_0^2\sin^2\alpha}{8g}$$После столкновения шарики имеют нулевую вертикальную скорость и падают с высоты $h$. Время падения после столкновения:
$$t_2=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\frac{\sqrt{3}\,v_0\sin\alpha}{2g}$$Полное время от начала движения до падения на Землю складывается из времени до столкновения и времени после него:
$$\tau=t_1+t_2=\frac{v_0\sin\alpha}{2g}+\frac{\sqrt{3}\,v_0\sin\alpha}{2g}$$\(\tau=\dfrac{(1+\sqrt{3})v_0\sin\alpha}{2g}\)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что после абсолютно неупругого столкновения шарики движутся как одно тело.
Использовать закон сохранения механической энергии во время неупругого столкновения.
Приравнять вертикальную скорость первого шарика к нулю вместо вертикальной скорости системы после столкновения.
Забыть сложить время движения до столкновения и время падения после столкновения.