Решение: Равновесие цилиндра между плоскостями
Гладкий цилиндр лежит между двумя плоскостями, одна из которых вертикальна, а линия их пересечения горизонтальна (см. рисунок). Сила давления цилиндра на вертикальную стенку равна 10 Н и в $n = 3$ раза меньше, чем сила давления на цилиндр со стороны другой плоскости. Определите массу цилиндра. Сделайте рисунок, на котором укажите силы, действующие на цилиндр.
Решение по шагам
5 шаговНа цилиндр действуют сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, сила реакции вертикальной стенки $N_1 = 10\,\text{Н}$, направленная горизонтально, и сила реакции наклонной плоскости $N_2$. Так как поверхности гладкие, реакции перпендикулярны соответствующим плоскостям.
$$N_1 = 10\,\text{Н}$$По условию сила давления на наклонную плоскость в $n = 3$ раза больше силы давления на вертикальную стенку:
$$N_2 = nN_1 = 3 \cdot 10 = 30\,\text{Н}$$Обозначим через $\alpha$ угол между наклонной плоскостью и вертикалью. Горизонтальная составляющая силы $N_2$ равна $N_2\sin\alpha$. Из равновесия по горизонтали:
$$N_2\sin\alpha = N_1,\qquad \sin\alpha = \frac{N_1}{N_2} = \frac{1}{3}$$Из равновесия по вертикали сила тяжести равна вертикальной составляющей реакции наклонной плоскости:
$$mg = N_2\cos\alpha = 30\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = 30\sqrt{1 - \frac{1}{9}} = 20\sqrt{2}\,\text{Н}$$Принимая $g = 10\,\text{Н/кг$, получаем массу цилиндра:
$$m = \frac{20\sqrt{2}}{10} = 2\sqrt{2}\,\text{кг}$$Масса цилиндра $m = 2\sqrt{2}\,\text{кг} \approx 2{,}8\,\text{кг}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Направляют реакцию наклонной плоскости не перпендикулярно плоскости.
Путают угол между плоскостью и вертикалью с углом между силой реакции и горизонталью.
Используют отношение сил давлений наоборот.
Не раскладывают реакцию наклонной плоскости на горизонтальную и вертикальную составляющие.