Шешімі: Сечение призмы плоскостью MKC
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=2$. Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1M:MD_1=1:2$, а точка $K$ — середина ребра $DD_1$.
а) Докажите, что плоскость $MKC$ делит отрезок $BB_1$ пополам. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $MKC$, если $\angle MKC=90^\circ$ и $\angle ADC=60^\circ$.
Шешім по шагам
9 қадамТак как трапеция равнобедренная, разность оснований равна $1$, поэтому проекция каждой боковой стороны на большее основание равна $\frac12$. Из условия $\angle ADC=60^\circ$ получаем координаты вершин основания: $D=(0,0,0)$, $A=(3,0,0)$, $C=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2},0\right)$, $B=\left(\frac52,\frac{\sqrt3}{2},0\right)$.
Пусть высота призмы равна $h$. Тогда $M=(1,0,h)$, поскольку $A_1M:MD_1=1:2$, а $K=\left(0,0,\frac h2\right)$, поскольку $K$ — середина $DD_1$.
Векторы, исходящие из точки $K$, имеют вид $\overrightarrow{KM}=\left(1,0,\frac h2\right)$ и $\overrightarrow{KC}=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2},-\frac h2\right)$. Условие перпендикулярности даёт:
$$\overrightarrow{KM}\cdot\overrightarrow{KC}=\frac12-\frac{h^2}{4}=0$$Следовательно, $h^2=2$, то есть $h=\sqrt2$.
Пусть $N$ — точка пересечения плоскости $MKC$ с ребром $BB_1$. Уравнение плоскости через точки $M$, $K$, $C$ можно записать в виде:
$$-\frac{h\sqrt3}{4}x+\frac{3h}{4}y+\frac{\sqrt3}{2}\left(z-\frac h2\right)=0$$На ребре $BB_1$ координаты $x=\frac52$, $y=\frac{\sqrt3}{2}$. Подстановка в уравнение плоскости даёт $z=\frac h2$. Значит, $N$ — середина отрезка $BB_1$. Сечение имеет вид четырёхугольника $MKCN$.
Вычислим площади треугольников $MKN$ и $KCN$, на которые диагональ $KN$ разбивает сечение. При $h=\sqrt2$ имеем $N=\left(\frac52,\frac{\sqrt3}{2},\frac h2\right)$.
$$S_{MKN}=\frac12\left|\overrightarrow{KM}\times\overrightarrow{KN}\right|=\frac{\sqrt{17}}{4}$$Аналогично:
$$S_{KCN}=\frac12\left|\overrightarrow{KN}\times\overrightarrow{KC}\right|=\frac{\sqrt{26}}{4}$$Складывая площади двух треугольников, получаем площадь сечения.
$$S_{MKCN}=S_{MKN}+S_{KCN}=\frac{\sqrt{17}+\sqrt{26}}{4}$$Плоскость $MKC$ проходит через середину ребра $BB_1$, а площадь сечения $MKCN$ равна $\dfrac{\sqrt{17}+\sqrt{26}}{4}$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Қате определяют координаты вершин равнобедренной трапеции.
Забывают, что точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $1:2$, поэтому $M$ находится на расстоянии одной трети ребра от точки $A_1$.
Используют условие $\angle MKC=90^\circ$ без применения скалярного произведения.
Рассматривают сечение как треугольник, не находя точку пересечения плоскости с ребром $BB_1$.