Шешімі: Показательное неравенство с дробями
Решите неравенство $\dfrac{2\cdot 8^{2x-1}}{2\cdot 8^{2x-1}-1}\geq\dfrac{3}{8^{x-1}}+\dfrac{8}{64^{x-5}-8^{x+4}}$.
Шешім по шагам
5 қадамВведём замену $t=8^{x-1}$. Тогда $t>0$, а также $8^{2x-1}=8t^2$, $64^{x-5}=\dfrac{t^2}{8^8}$ и $8^{x+4}=8^5t$.
Преобразуем знаменатели: $2\cdot8^{2x-1}-1=16t^2-1$, а $64^{x-5}-8^{x+4}=\dfrac{t(t-8^{13})}{8^8}$. Поэтому область допустимых значений задаётся условиями $t\neq\dfrac14$ и $t\neq8^{13}$.
После переноса всех членов в левую часть и приведения к общему знаменателю получаем неравенство
$$\frac{16t^4-(16\cdot8^{13}+48)t^3-16\cdot8^9t^2+3t+8^9}{t(4t-1)(4t+1)(t-8^{13})}\geq0$$Числитель имеет два положительных корня: $t_1\approx0{,}02473$ и $t_2\approx8^{13}+\dfrac1{4096}$. С учётом точек, в которых знаменатель обращается в ноль, методом интервалов получаем $0<t\leq t_1$ или $\dfrac14<t<8^{13}$ или $t>t_2$.
Возвращаемся к переменной $x$. Так как $t=8^{x-1}$, имеем $x_1=1+\log_8t_1\approx-0{,}780$; при этом $t=\dfrac14$ соответствует $x=\dfrac13$, а $t=8^{13}$ — $x=14$. Правая часть $t>t_2$ даёт $x>14$ с очень малым сдвигом границы, поскольку $t_2>8^{13}$.
Ответ: $x\in(-\infty; -0{,}780\ldots]\cup\left(\dfrac13;14\right)\cup(14{,}000\ldots; +\infty)$, где правая граница последнего промежутка соответствует $x=1+\log_8\left(8^{13}+\dfrac1{4096}\right)\approx14{,}000000004$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $t\neq\dfrac14$ и $t\neq8^{13}$.
Ошибочно считать, что из $t>8^{13}$ сразу следует граница $x>14$, не исследовав точное положение второго корня.
Потерять множитель $8^8$ при преобразовании знаменателя $64^{x-5}-8^{x+4}$.