Решение: Показательное неравенство
Решите неравенство $\dfrac{8x^3-4x^2-2x+1}{16^{x^2}-4\cdot 4^{x^2}+4}\le 0$.
Решение по шагам
6 шаговРазложим числитель на множители:
$$8x^3-4x^2-2x+1=(2x-1)(4x^2-1)=(2x-1)^2(2x+1)$$Преобразуем знаменатель. Обозначим $t=4^{x^2}$. Тогда $16^{x^2}=t^2$, поэтому:
$$16^{x^2}-4\cdot4^{x^2}+4=(4^{x^2})^2-4\cdot4^{x^2}+4=(4^{x^2}-2)^2$$Знаменатель не должен обращаться в ноль:
$$(4^{x^2}-2)^2\ne0\Rightarrow 4^{x^2}\ne2\Rightarrow x^2\ne\frac12\Rightarrow x\ne\pm\frac{\sqrt2}{2}$$С учётом области допустимых значений исходное неравенство равносильно:
$$\frac{(2x-1)^2(2x+1)}{(4^{x^2}-2)^2}\le0$$Квадрат в числителе неотрицателен, а квадрат в знаменателе положителен на области допустимых значений. Поэтому необходимо, чтобы $2x+1\le0$, либо чтобы квадрат $(2x-1)^2$ был равен нулю.
$$x\le-\frac12\quad\text{или}\quad x=\frac12$$Из найденного промежутка исключаем значение $x=-\frac{\sqrt2}{2}$, поскольку при нём знаменатель равен нулю. Значение $x=\frac12$ допустимо.
x\in\left(-\infty,-\frac{\sqrt2}{2}\right)\cup\left(-\frac{\sqrt2}{2},-\frac12\right]\cup\left\{\frac12\right\}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не исключают значения $x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$, при которых знаменатель равен нулю.
Ошибочно считают, что дробь равна нулю при любом нуле знаменателя.
Теряют значение $x=\frac12$, где числитель равен нулю.