Шешімі: Расстояние до диагонали цилиндра
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра. Докажите, что угол $ABC_1$ прямой. Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$, если $AB=21$, $BB_1=12$, $B_1C_1=16$.
Шешім по шагам
7 қадамОбозначим через $O$ центр основания, а через $C$ ортогональную проекцию точки $C_1$ на плоскость основания. Так как $BB_1$ — образующая цилиндра, отрезок $B_1C_1$ параллелен отрезку $BC$, поэтому $B_1C_1=BC=16$.
Отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра. Его проекция на плоскость основания — отрезок $AC$, который проходит через центр $O$. Следовательно, $AC$ является диаметром окружности основания.
По теореме Фалеса угол $ABC$ прямой. Кроме того, $BC$ является проекцией отрезка $BC_1$, а $BB_1$ перпендикулярен плоскости основания. Поэтому $AB$ перпендикулярен и $BC_1$, то есть $\angle ABC_1=90^\circ$.
Треугольник $BB_1C_1$ прямоугольный, поэтому
$$BC_1=\sqrt{BB_1^2+B_1C_1^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20$$Треугольник $ABC_1$ прямоугольный с катетами $AB$ и $BC_1$. Поэтому
$$AC_1=\sqrt{AB^2+BC_1^2}=\sqrt{21^2+20^2}=29$$Расстояние $h$ от вершины прямого угла $B$ до гипотенузы $AC_1$ найдём из равенства площадей:
$$\frac12 AB\cdot BC_1=\frac12 AC_1\cdot h$$Следовательно,
$$h=\frac{AB\cdot BC_1}{AC_1}=\frac{21\cdot20}{29}=\frac{420}{29}$$Расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$ равно $\dfrac{420}{29}$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать длину $B_1C_1$ с длиной пространственного отрезка $BC_1$.
Не обосновать, почему проекция отрезка $AC_1$ проходит через центр основания.
Использовать формулу расстояния до гипотенузы без доказательства прямоугольности треугольника $ABC_1$.
Вычислить $AC_1$ как $\sqrt{21^2+12^2}$, не учитывая горизонтальную составляющую $B_1C_1$.