Решение: Последовательные числа и делимость
На доске записано некоторое количество последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять делятся на 20.
а) Могло ли среди записанных чисел быть больше пяти чисел, делящихся на 21?
б) Могло ли среди записанных чисел быть меньше пяти чисел, делящихся на 15?
в) Найдите наибольшее возможное число $k$ такое, что среди записанных чисел больше пяти чисел делятся на $k$.
Решение по шагам
8 шаговОбозначим количество записанных последовательных чисел через $N$. Если среди них ровно пять чисел, кратных 20, то длина последовательности не менее $5 \cdot 20=100$? Уточним: чтобы в последовательности было ровно пять кратных 20, её длина может быть не менее 81 и не более 100. Действительно, шесть кратных 20 имеют разность между первым и последним $5 \cdot 20=100$, поэтому для появления шести таких чисел нужно не менее 101 числа.
$$81 \leq N \leq 100$$а) Чтобы в последовательности было больше пяти чисел, кратных 21, нужны хотя бы шесть таких чисел. Между первым и шестым кратными 21 числами расстояние равно $5 \cdot 21=105$, поэтому последовательность должна содержать не менее 106 чисел. Это невозможно, так как $N \leq 100$.
$$5 \cdot 21+1=106>100$$Следовательно, в пункте а) ответ отрицательный.
б) При длине последовательности не менее 81 в ней обязательно встречается не менее пяти чисел, кратных 15: любые 81 последовательное число содержат хотя бы пять кратных 15. Поэтому меньше пяти чисел, кратных 15, быть не может.
$$\left\lfloor\frac{81-1}{15}\right\rfloor+1=6$$Более точно, минимальное число кратных 15 в отрезке длины 81 равно пяти: например, последовательность от 2 до 82 содержит числа $15,30,45,60,75$, то есть пять чисел, кратных 15. Поэтому пункт б) возможен.
$$2,3,\ldots,82$$в) Если среди записанных чисел больше пяти чисел, кратных $k$, то в последовательности есть хотя бы шесть чисел, кратных $k$. Расстояние между первым и шестым такими числами равно $5k$, поэтому длина последовательности должна быть не менее $5k+1$. Так как $N \leq 100$, получаем ограничение на $k$.
$$5k+1\leq 100 \quad\Longrightarrow\quad k\leq 19$$Проверим достижимость $k=19$. Возьмём последовательность натуральных чисел от 1 до 96. В ней ровно пять чисел, кратных 20: $20,40,60,80,?$. Исправим выбор конца последовательности: возьмём числа от 19 до 114, но это 96 чисел и содержит числа $20,40,60,80,100$, то есть ровно пять кратных 20. При этом числа $19,38,57,76,95,114$ — шесть чисел, кратных 19.
$$114-19+1=96$$Следовательно, наибольшее возможное значение $k$ равно 19.
а) Нет. б) Да, например, для чисел от 2 до 82. в) $k=19$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что длина последовательности обязательно равна 100.
Забывать, что для шести кратных $k$ нужны числа от первого до шестого с расстоянием $5k$, а длина отрезка равна $5k+1$.
В пункте б) приводить последовательность, в которой не проверено количество чисел, кратных 20.