Решение: Решение показательного неравенства
Решите неравенство $\dfrac{15^x-3^{x+1}-5^{x+1}+15}{-x^2+2x}\ge 0$.
Решение по шагам
5 шаговРазложим числитель на множители:
$$15^x-3^{x+1}-5^{x+1}+15=3^x5^x-3\cdot3^x-5\cdot5^x+15=(3^x-5)(5^x-3)$$Разложим знаменатель и определим область допустимых значений:
$$-x^2+2x=x(2-x),\quad x\ne0,\ x\ne2$$Нули множителей числителя:
$$3^x-5=0\Rightarrow x=\log_3 5;\qquad 5^x-3=0\Rightarrow x=\log_5 3$$Так как $\log_5 3<\log_3 5$, расставим критические точки в порядке возрастания: $0<\log_5 3<\log_3 5<2$.
Методом интервалов учитываем знаки множителей. Неравенство выполняется на интервалах $(0,\log_5 3]$ и $[\log_3 5,2)$. Точки $\log_5 3$ и $\log_3 5$ включаются, поскольку обращают числитель в ноль; точки $0$ и $2$ не включаются, поскольку обращают знаменатель в ноль.
x\in(0;\log_5 3]\cup[\log_3 5;2)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не исключают из области допустимых значений точки $x=0$ и $x=2$.
Неверно раскладывают числитель на множители.
Путают порядок чисел $\log_5 3$ и $\log_3 5$.
Не включают нули числителя в ответ.