Шешімі: Показательное неравенство с параметром
Решите неравенство $\dfrac{3\cdot 27^x-9^{x+1}+3^{x+2}-3}{50x^2-30x+4{,}5}\ge 0$.
Шешім по шагам
6 қадамПреобразуем степени в числителе, используя $27^x=(3^x)^3$, $9^{x+1}=9(3^x)^2$ и $3^{x+2}=9\cdot 3^x$.
$$3\cdot 27^x-9^{x+1}+3^{x+2}-3=3(3^x)^3-9(3^x)^2+9\cdot 3^x-3$$Вынесем общий множитель и разложим получившийся многочлен.
$$3(3^x)^3-9(3^x)^2+9\cdot 3^x-3=3\bigl((3^x)^3-3(3^x)^2+3\cdot 3^x-1\bigr)=3(3^x-1)^3$$Разложим знаменатель на полный квадрат.
$$50x^2-30x+4{,}5=50\left(x-\frac{3}{10}\right)^2$$Исходное неравенство принимает вид, причём $x=\frac{3}{10}$ исключается из области допустимых значений.
$$\frac{3(3^x-1)^3}{50\left(x-\frac{3}{10}\right)^2}\ge 0,\qquad x\ne\frac{3}{10}$$Знаменатель положителен при всех $x\ne\frac{3}{10}$. Так как функция $3^x$ возрастает и $3^x-1$ имеет знак числа $x$, числитель отрицателен при $x<0$, равен нулю при $x=0$ и положителен при $x>0$.
$$3(3^x-1)^3\begin{cases}<0,&x<0,\\=0,&x=0,\\>0,&x>0\end{cases}$$Следовательно, подходят все $x\ge 0$, кроме точки, в которой знаменатель обращается в ноль.
$$x\in\left[0,\frac{3}{10}\right)\cup\left(\frac{3}{10},+\infty\right)$$$x\in\left[0;\frac{3}{10}\right)\cup\left(\frac{3}{10};+\infty\right)$
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не исключают точку $x=\frac{3}{10}$, где знаменатель равен нулю.
Ошибочно считают, что точка $x=0$ не входит в ответ, хотя числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Қате определяют знак выражения $3^x-1$: он совпадает со знаком $x$.