Решение: Число корней уравнения
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $a^2+ax-2x^2-6a-3x+9|x|=0$ имеет меньше четырёх различных корней.
Решение по шагам
8 шаговРассмотрим случай $x\geqslant 0$. Тогда $|x|=x$, и уравнение принимает вид
$$a^2+ax-2x^2-6a-3x+9=0$$Сгруппируем слагаемые:
$$-2x^2+(a-3)x+(a-3)^2=0$$Разложим левую часть на множители:
$$-(x-(a-3))(2x+(a-3))=0$$Корни этого уравнения: $x=a-3$ и $x=-\dfrac{a-3}{2}$. При $a\ne 3$ ровно один из них неотрицателен. При $a=3$ оба значения совпадают с $x=0$, поэтому имеется один неотрицательный корень.
Теперь рассмотрим случай $x<0$. Тогда $|x|=-x$, поэтому
$$-2x^2+(a-12)x+(a-3)^2=0$$Если $a\ne 3$, произведение корней этого квадратного уравнения равно $-\dfrac{(a-3)^2}{2}<0$. Следовательно, корни имеют разные знаки, и ровно один из них отрицателен.
Если $a=3$, уравнение при $x<0$ имеет вид $-2x^2-9x=0$, откуда $x=0$ или $x=-\dfrac{9}{2}$. Условию $x<0$ удовлетворяет корень $x=-\dfrac{9}{2}$.
Таким образом, при любом действительном $a$ уравнение имеет не более двух различных корней: один из области $x\geqslant 0$ и один из области $x<0$. Поэтому число корней всегда меньше четырёх.
Все действительные значения $a$: $a\in\mathbb{R}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не разделяют уравнение на случаи $x\geqslant 0$ и $x<0$.
Считают оба корня первого квадратного уравнения допустимыми независимо от знака $a-3$.
Забывают отдельно рассмотреть случай $a=3$, когда квадратное уравнение вырождается.