Шешімі: Касательная и вписанная окружность
В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O$. Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK=90^\circ$, $\angle LMN=\angle KLM=60^\circ$.
а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.
б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA=3$.
Шешім по шагам
8 қадамОбозначим радиус вписанной окружности через $r$. Так как $MN$ — касательная, $OA\perp MN$ и $OA=r$.
Центр $O$ лежит на биссектрисе угла $M$. В прямоугольном треугольнике $MOA$ угол $OMA$ равен $30^\circ$, поскольку $\angle LMN=60^\circ$. Поэтому $MA=r\cot30^\circ=\sqrt{3}r$.
Аналогично, из $\angle MNK=90^\circ$ получаем $NA=r\cot45^\circ=r$.
Из равенства касательных, проведённых из одной точки к окружности, касательные от вершины $L$ равны $\sqrt{3}r$, так как $\angle KLM=60^\circ$. Поэтому $LM=\sqrt{3}r+\sqrt{3}r=2\sqrt{3}r$.
В треугольнике $AML$ угол $AML=60^\circ$, $AM=\sqrt{3}r$, $LM=2\sqrt{3}r$. По теореме косинусов: $LA^2=(\sqrt{3}r)^2+(2\sqrt{3}r)^2-2\cdot\sqrt{3}r\cdot2\sqrt{3}r\cdot\cos60^\circ=9r^2$. Следовательно, $LA=3r$.
Так как $LO$ — биссектриса угла $KLM=60^\circ$, угол между $LO$ и стороной $LM$ равен $30^\circ$. Расстояние от точки $L$ до стороны $LM$ равно радиусу $r$, поэтому в соответствующем прямоугольном треугольнике $LO=\dfrac{r}{\sin30^\circ}=2r$.
Получаем $LA=3r=2r+r=LO+OA$. Следовательно, точка $O$ лежит между точками $L$ и $A$, а точки $L$, $O$, $A$ лежат на одной прямой. Это доказывает пункт а).
Из условия $LA=3$ следует $3r=3$, поэтому $r=1$. Тогда $MN=MA+AN=\sqrt{3}r+r=1+\sqrt{3}$.
MN=1+\sqrt{3}
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла.
Неверно используют формулу длины касательной: для угла $60^\circ$ она равна $r\cot30^\circ=\sqrt{3}r$.
Путают радиус $OA$ с длиной касательной $MA$.
Не обосновывают коллинеарность точек $L$, $O$ и $A$.