Решение: Средние баллы в школах
В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе № 1 средний балл равнялся 18.
Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе № 1 изначально?
б) В школе № 1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?
в) Известно, что изначально в школе № 2 писали тест более 10 учащихся. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе № 2 изначально?
Решение по шагам
8 шаговПусть первоначально в школе № 1 было $n$ учащихся, а перешедший учащийся набрал $x$ баллов. Сумма баллов в этой школе равна $18n$. После перехода учащихся стало $n-1$, а средний балл увеличился на 10% и стал равен $19{,}8$.
$$18n-x=19{,}8(n-1)$$Выразим количество баллов перешедшего учащегося:
$$x=18n-19{,}8(n-1)=\frac{99-9n}{5}=\frac{9(11-n)}5$$Так как $x$ — натуральное число, необходимо, чтобы $n\equiv4\pmod 5$. Кроме того, $n\ge2$ и $x>0$, то есть $n<11$. Поэтому возможны только $n=4$ и $n=9$.
$$n\in\{4,9\}$$При $n=4$ перешедший учащийся набрал $x=9$ баллов, а при $n=9$ — $x=18$ баллов.
Для пункта б) при $n=4$ максимальный балл не превосходит $72-9-1-2=60$. При $n=9$ можно взять семь остальных баллов равными $1,2,3,4,5,6,7$, балл перешедшего учащегося равным $18$, а максимальный балл равным $162-18-(1+2+3+4+5+6+7)=116$. Все баллы различны.
$$116=162-18-\frac{7\cdot8}{2}$$Пусть в школе № 2 первоначально было $m$ учащихся, а её первоначальный целый средний балл равнялся $k$. После перехода средний балл стал $1{,}1k=\frac{11k}{10}$. Поэтому:
$$\frac{mk+x}{m+1}=\frac{11k}{10}$$После преобразования получаем связь между $m$, $k$ и $x$:
$$10x=k(m+11),\qquad m=\frac{10x}{k}-11$$Для $n=4$ имеем $x=9$, а для $n=9$ имеем $x=18$. В обоих случаях при условии $m>10$ наименьшее возможное значение получается при $k=3$ для $x=9$ или при $k=6$ для $x=18$:
$$m=\frac{90}{3}-11=19,\qquad m=\frac{180}{6}-11=19$$а) $4$ или $9$ учащихся; б) $116$ баллов; в) $19$ учащихся.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что после перехода из школы № 1 уходит один учащийся, поэтому в знаменателе стоит $n-1$.
Используют увеличение среднего балла на 10% как прибавление 10 баллов, а не умножение на $1{,}1$.
Не проверяют натуральность количества баллов перешедшего учащегося.
В пункте б) не учитывают, что все баллы должны быть различными.
В пункте в) забывают условие $m>10$.