Решение: Логарифмическое неравенство
Решите неравенство $\log_{4}\bigl((x-5)(x^2-2x-15)\bigr)+1\ge 0{,}5\log_{2}(x-5)^2$.
Решение по шагам
9 шаговОпределим область допустимых значений. Аргумент первого логарифма должен быть положительным, а аргумент второго логарифма — ненулевым:
$$(x-5)(x^2-2x-15)>0,\quad (x-5)^2>0$$Разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$x^2-2x-15=(x-5)(x+3)$$Тогда условие области допустимых значений принимает вид:
$$(x-5)^2(x+3)>0,\quad x\ne5$$Так как $(x-5)^2>0$ при $x\ne5$, получаем область допустимых значений:
$$x>-3,\quad x\ne5$$Преобразуем левую часть, используя равенство $\log_4 a=0{,}5\log_2 a$:
$$0{,}5\log_2\bigl((x-5)^2(x+3)\bigr)+1\ge0{,}5\log_2(x-5)^2$$В области допустимых значений объекты логарифмов положительны, поэтому можно объединить логарифмы:
$$0{,}5\log_2\frac{(x-5)^2(x+3)}{(x-5)^2}+1\ge0$$Сокращаем множитель $(x-5)^2$ и решаем полученное неравенство:
$$0{,}5\log_2(x+3)+1\ge0$$Так как основание $2>1$, знак неравенства сохраняется:
$$\log_2(x+3)\ge-2\quad\Longrightarrow\quad x+3\ge2^{-2}=\frac14$$Следовательно, $x\ge-\frac{11}{4}$. Пересекаем это множество с ОДЗ $x>-3$, $x\ne5$.
$$x\in\left[-\frac{11}{4};5\right)\cup(5;+\infty)$$x\in\left[-\frac{11}{4};5\right)\cup(5;+\infty)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают ограничение $x\ne5$ из-за аргумента второго логарифма.
Ошибочно считают, что квадрат $(x-5)^2$ может быть равен нулю в ОДЗ.
Забывают, что $\log_4 a=0{,}5\log_2 a$.
Не исключают точку $x=5$ из итогового ответа после сокращения множителя.