Шешімі: Уравнение с тангенсом и параметром
Найдите все значения $a$, при которых уравнение $\left(2x+a+1-\tan x\right)^2=\left(2x+a-1+\tan x\right)^2$ имеет единственное решение на отрезке $[0;\pi]$.
Шешім по шагам
7 қадамОбозначим $A=2x+a+1-\tan x$ и $B=2x+a-1+\tan x$. Тогда исходное уравнение равносильно совокупности $A=B$ или $A=-B$.
$$A^2=B^2\Longleftrightarrow (A-B)(A+B)=0$$Решим первое уравнение совокупности:
$$2x+a+1-\tan x=2x+a-1+\tan x\Longleftrightarrow \tan x=1$$На отрезке $[0;\pi]$, где тангенс определён, это уравнение имеет единственное решение $x=\dfrac{\pi}{4}$.
Решим второе уравнение совокупности:
$$2x+a+1-\tan x=-(2x+a-1+\tan x)\Longleftrightarrow 4x+2a=0\Longleftrightarrow x=-\frac{a}{2}$$Чтобы второе решение принадлежало отрезку $[0;\pi]$, необходимо и достаточно, чтобы $0\le -\dfrac a2\le\pi$, то есть $a\in[-2\pi;0]$. При $a=-\pi$ получаем $x=\dfrac\pi2$, где тангенс не определён, поэтому это значение не даёт второго решения.
При $a=-\dfrac\pi2$ второе решение совпадает с первым: $-\dfrac a2=\dfrac\pi4$. Во всех остальных случаях $a\in[-2\pi;0]$, кроме $a=-\pi$ и $a=-\dfrac\pi2$, появляются два различных решения.
Следовательно, единственное решение сохраняется при отсутствии второго допустимого корня, а также при совпадении корней.
$$a\in(-\infty;-2\pi)\cup(0;+\infty)\cup\left\{-\pi,-\frac\pi2\right\}$$$a\in(-\infty;-2\pi)\cup(0;+\infty)\cup\left\{-\pi,-\dfrac\pi2\right\}$
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать область определения тангенса и включать $a=-\pi$ в общий случай.
Считать совпадение двух корней двумя решениями при $a=-\dfrac\pi2$.
Забывать, что Шешім $x=\dfrac\pi4$ существует при любом значении параметра.