Решение: Операция над парами целых чисел
Над парами целых чисел проводится операция: из пары $(a; b)$ получается пара $(3a+b; 3b-a)$. а) Можно ли из какой-то пары получить пару $(5; 5)$? б) Верно ли, что если пара $(c; d)$ может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара $(-d; c)$ тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции? в) Зададим расстояние между парами $(a; b)$ и $(c; d)$ выражением $|a-c|+|b-d|$. Найдите наименьшее расстояние от пары $(9; 2)$ до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.
Решение по шагам
5 шагова) Требуется решить систему $3a+b=5$, $3b-a=5$. Из первого уравнения $b=5-3a$. Подставляя во второе уравнение, получаем $3(5-3a)-a=5$, откуда $a=1$ и $b=2$. Следовательно, пара $(5;5)$ получается из пары $(1;2)$.
$$3\cdot1+2=5,\quad 3\cdot2-1=5$$б) Пусть $(c;d)$ получена из пары $(a;b)$, то есть $c=3a+b$, $d=3b-a$. Рассмотрим исходную пару $(-b;a)$. После операции из неё получается пара $(-3b+a;3a+b)=(-d;c)$. Значит, утверждение верно.
$$(3(-b)+a;\,3a-(-b))=(a-3b;\,3a+b)=(-d;c)$$в) Пусть $(c;d)$ — пара, полученная из целочисленной пары. Тогда $a=\dfrac{3c-d}{10}$ и $b=\dfrac{c+3d}{10}$ должны быть целыми. Поэтому для приращений $u=c-9$ и $v=d-2$ необходимо выполнение сравнений $3u-v\equiv5\pmod{10}$ и $u+3v\equiv5\pmod{10}$.
$$3c-d\equiv0\pmod{10},\quad c+3d\equiv0\pmod{10}$$Расстояние $0$ невозможно, поскольку пара $(9;2)$ не удовлетворяет условиям делимости: $3\cdot9-2=25$ и $9+3\cdot2=15$ не делятся на $10$. При расстоянии $1$ или $2$ перебор возможных целочисленных приращений $(u;v)$ не даёт выполнения обоих сравнений. Значит, расстояние не может быть меньше $3$.
$$|u|+|v|\leq2\ \Longrightarrow\ \text{условия делимости не выполняются}$$Пара $(10;0)$ получается из пары $(2;-1)$, так как $3\cdot2+(-1)=5$ — это не подходит; исправим выбор: пара $(10;0)$ получается из пары $(3;-1)$, поскольку $3\cdot3-1=8$, также не подходит. Используем условия обратного преобразования: для $(10;0)$ получаем $a=3$, $b=1$, поэтому $(10;0)$ получается из пары $(3;1)$. Расстояние от $(9;2)$ равно $|10-9|+|0-2|=3$.
$$a=\frac{3\cdot10-0}{10}=3,\quad b=\frac{10+3\cdot0}{10}=1,\quad |10-9|+|0-2|=3$$а) Да, из пары $(1;2)$. б) Да: если $(c;d)$ получена из $(a;b)$, то $(-d;c)$ получается из $(-b;a)$. в) Наименьшее расстояние равно $3$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно вычисляют обратное преобразование и забывают делимость на $10.
Путают пару $(-d;c)$ с парой $(d;-c)$.
Не доказывают, что расстояния $1$ и $2$ невозможны.
В пункте в) находят пример на расстоянии $3$, но не доказывают минимальность.