Решение: Рациональное неравенство с логарифмами
Решите неравенство $1+\dfrac{6}{\log_3 x-3}+\dfrac{5}{\log_3^2 x-\log_3(27x^6)+12}\ge 0$.
Решение по шагам
6 шаговПо определению логарифма необходимо, чтобы $x>0$. Дополнительно знаменатели исходного выражения не должны обращаться в ноль: $\log_3 x-3\ne 0$.
$$x>0,\quad \log_3 x\ne 3$$Введём замену $t=\log_3 x$. Тогда $\log_3(27x^6)=\log_3 27+\log_3 x^6=3+6t$.
$$\log_3^2 x-\log_3(27x^6)+12=t^2-(3+6t)+12=(t-3)^2$$Исходное неравенство принимает вид:
$$1+\frac{6}{t-3}+\frac{5}{(t-3)^2}\ge 0$$Приведём выражение к общему знаменателю. Так как $t\ne 3$, знаменатель $(t-3)^2$ положителен.
$$\frac{(t-3)^2+6(t-3)+5}{(t-3)^2}=\frac{t^2-1}{(t-3)^2}=\frac{(t-1)(t+1)}{(t-3)^2}\ge 0$$С учётом положительности знаменателя решаем неравенство $(t-1)(t+1)\ge 0$. Получаем $t\le -1$ или $t\ge 1$, при этом $t=3$ исключается из ОДЗ.
$$t\in(-\infty,-1]\cup[1,3)\cup(3,+\infty)$$Возвращаемся к переменной $x$: при основании логарифма $3>1$ функция $\log_3 x$ возрастает.
$$\log_3 x\le -1\Rightarrow 0<x\le\frac13;\quad 1\le\log_3 x<3\Rightarrow 3\le x<27;\quad \log_3 x>3\Rightarrow x>27$$Ответ: $x\in\left(0;\frac13\right]\cup[3;27)\cup(27;+\infty)$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учесть условие $x>0$ для логарифма.
Не исключить значение $x=27$, при котором $\log_3 x-3=0$.
Ошибочно заменить $\log_3(27x^6)$ на $3+t^6$ вместо $3+6t$.
Забыть, что основание логарифма $3>1$, поэтому знак неравенства при переходе от логарифма к аргументу сохраняется.