Решение: Уравнение с параметром и модулями
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\left(4x+|x-a|-|3x+1|\right)^2-(a+1)\left(4x+|x-a|-|3x+1|\right)+1=0$ имеет ровно два различных корня.
Решение по шагам
10 шаговОбозначим $y=4x+|x-a|-|3x+1|$. Тогда исходное уравнение равносильно квадратному уравнению относительно $y$:
$$y^2-(a+1)y+1=0$$Его дискриминант равен:
$$D=(a+1)^2-4=(a-1)(a+3)$$Рассмотрим функцию $y(x)$. Если $a< -\frac13$, то на промежутках, разделённых точками $x=a$ и $x=-\frac13$, её угловые коэффициенты равны $6$, $8$ и $2$. Поэтому функция строго возрастает на всей числовой прямой и каждое значение $y$ достигается ровно один раз.
В случае $a< -\frac13$ ровно два корня по $x$ получаются тогда и только тогда, когда уравнение относительно $y$ имеет два различных вещественных корня:
$$D>0 \iff a<-3 \text{ или } a>1$$С учётом условия $a< -\frac13$ из этого случая получаем $a<-3$.
Пусть теперь $a\ge -\frac13$. Тогда на отрезке от $x=-\frac13$ до $x=a$ функция постоянна:
$$y=a-1$$Вне этого отрезка функция принимает каждое значение, отличное от $a-1$, ровно один раз. Поэтому для получения ровно двух корней по $x$ квадратное уравнение относительно $y$ должно иметь два различных вещественных корня, причём значение $a-1$ не должно быть одним из них.
Условие двух различных корней даёт $a<-3$ или $a>1$. С учётом $a\ge -\frac13$ остаётся $a>1$.
Проверим, когда $y=a-1$ является корнем квадратного уравнения:
$$(a-1)^2-(a+1)(a-1)+1=3-2a$$При $a=\frac32$ значение $a-1$ является корнем, поэтому исходное уравнение имеет бесконечно много корней по $x$, а не ровно два. Это значение исключается.
Ответ: $a\in(-\infty,-3)\cup(1,\frac32)\cup(\frac32,+\infty)$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывают только дискриминант квадратного уравнения относительно $y$ и не исследуют число прообразов значения $y$.
Не замечают, что при $a\ge -\frac13$ функция постоянна на отрезке и одно из значений достигается бесконечно много раз.
Не исключают значение $a=\frac32$, при котором $a-1$ является корнем уравнения относительно $y$.