Решение: Угол между плоскостями пирамиды
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $SA$ равно $7$. На рёбрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём $DN:NC=SK:KC=1:2$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $BC$. а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SA$. б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $SBC$.
Решение по шагам
8 шаговПоместим основание пирамиды в плоскость $z=0$, а его центр — в начало координат. Так как сторона основания равна $6$, можно взять координаты $A(3,3,0)$, $B(-3,3,0)$, $C(-3,-3,0)$, $D(3,-3,0)$. В правильной пирамиде вершина $S$ находится над центром основания.
$$S=(0,0,h)$$Расстояние от центра основания до вершины квадрата равно $3\sqrt{2}$. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой $SA=7$ получаем высоту пирамиды.
$$h^2+(3\sqrt{2})^2=7^2,\quad h=\sqrt{31}$$Так как $DN:NC=1:2$, точка $N$ делит отрезок $DC$ в отношении $1:2$. Поэтому $N(1,-3,0)$. Аналогично, из $SK:KC=1:2$ получаем $K(-1,-1,\frac{2\sqrt{31}}{3})$.
$$N=D+\frac13(C-D),\quad K=S+\frac13(C-S)$$Направляющие векторы прямых $KN$ и $BC$ можно взять в виде $\overrightarrow{NK}=(-2,2,\frac{2\sqrt{31}}{3})$ и $\overrightarrow{BC}=(0,-6,0)$. Нормаль к плоскости $\alpha$ найдём как их векторное произведение.
$$\vec n_{\alpha}=\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{NK}\sim(\sqrt{31},0,3)$$Направляющий вектор прямой $SA$ равен $\overrightarrow{SA}=A-S=(3,3,-\sqrt{31})$. Проверим его перпендикулярность нормали плоскости $\alpha$.
$$\vec n_{\alpha}\cdot\overrightarrow{SA}=3\sqrt{31}-3\sqrt{31}=0$$Следовательно, прямая $SA$ перпендикулярна нормали плоскости $\alpha$, то есть $SA\parallel\alpha$. Это доказывает пункт а).
$$SA\parallel\alpha$$Для плоскости $SBC$ возьмём векторы $\overrightarrow{BC}=(0,-6,0)$ и $\overrightarrow{BS}=(3,-3,\sqrt{31})$. Их векторное произведение даёт нормаль к плоскости $SBC$.
$$\vec n_{SBC}=\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BS}\sim(-\sqrt{31},0,3)$$Угол между плоскостями равен острому углу между их нормалями. Используем формулу скалярного произведения.
$$\cos\varphi=\frac{|\vec n_{\alpha}\cdot\vec n_{SBC}|}{|\vec n_{\alpha}|\,|\vec n_{SBC}|}=\frac{|{-31+9}|}{\sqrt{40}\sqrt{40}}=\frac{22}{40}=\frac{11}{20}$$а) $SA\parallel\alpha$. б) $\varphi=\arccos\frac{11}{20}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно находят высоту пирамиды, забывая, что расстояние от центра квадрата до вершины равно $3\sqrt{2}$.
Используют угол между нормалями без взятия модуля скалярного произведения.
Путают условие перпендикулярности прямой плоскости с условием параллельности: для доказательства $SA\parallel\alpha$ нужно показать, что направляющий вектор $SA$ перпендикулярен нормали к $\alpha$.