12
Решение: Длина биссектрисы треугольника
ЕГЭ · Математика, база · Задание 12 · Планиметрия
ПовышеннаяФИПИ1583D7Короткий ответ≈ 2 минутыРазбор в 4 шагаОтвет сверен с ключом
Условие
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 20$, $\angle ABC = 120^\circ$, $BK$ — биссектриса. Найдите длину отрезка $BK$.
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
4 шага1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Биссектриса $BK$, проведённая к основанию, является также медианой и высотой.
$$AK = KC = \dfrac{AC}{2}$$2
Найдём основание треугольника по теореме косинусов.
$$AC^2 = 20^2 + 20^2 - 2 \cdot 20 \cdot 20 \cdot \cos 120^\circ = 1200$$3
Следовательно, $AC = 20\sqrt{3}$ и $AK = 10\sqrt{3}$.
$$AK = \dfrac{20\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$$В прямоугольном треугольнике $ABK$ по теореме Пифагора найдём длину биссектрисы.
$$BK = \sqrt{AB^2 - AK^2} = \sqrt{20^2 - (10\sqrt{3})^2} = \sqrt{100} = 10$$Ответ
10
10
так ответ выглядит в бланкеГде здесь ошибаются
Не учитывают, что биссектриса в равнобедренном треугольнике является также высотой.
Ошибаются при вычислении $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$.