Решение: Нули в записи числа
Значение арифметического выражения $9 \cdot 11^{350} + 8 \cdot 11^{150} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее $3000$, записали в $11$-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором в $11$-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно $202$ нуля.
В ответе запишите число в десятичной системе счисления.
Решение по шагам
5 шаговБез вычитания $x$ число имеет в $11$-ричной системе цифры $9$ в разряде $350$, $8$ в разряде $150$ и нули в остальных разрядах.
При вычитании положительного $x$ происходит заимствование из разряда $150$. Поэтому разряды с $151$ по $349$ дают $199$ нулей, а в младших $150$ разрядах количество нулей совпадает с количеством цифр $10$ в записи числа $x-1$ в системе счисления с основанием $11$.
Всего должно быть $202$ нуля, значит в записи $x-1$ должно быть ровно $202-199=3$ цифры $10$.
Максимальное число $x-1$, не превосходящее $2999$, с тремя цифрами $10$ в записи по основанию $11$ имеет вид $1\cdot11^3 + 10\cdot11^2 + 10\cdot11 + 10 = 2661$.
Следовательно, $x = 2661+1=2662$.
Где здесь ошибаются
Не учитывать заимствование при вычитании $x$ из числа с нулевыми младшими разрядами.
Считать количество нулей только между разрядами $150$ и $350$.
Искать максимальное $x$, хотя условие о трёх цифрах $10$ относится к числу $x-1$.