Решение: Точки внутри области Черепахи
Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. При опущенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии. Команда «Вперёд $n$» перемещает Черепаху на $n$ единиц в направлении движения, а команда «Направо $m$» изменяет направление движения на $m$ градусов по часовой стрелке. Запись «Повтори $k$ [Команда1 Команда2 … Команда $S$]» означает повторение последовательности из $S$ команд $k$ раз.
Черепахе был дан алгоритм:
Направо 45
Повтори 3 [Направо 45 Вперёд 10 Направо 45]
Направо 315 Вперёд 10 Направо 90
Вперёд 20 Направо 90
Повтори 2 [Вперёд 10 Направо 90]
Определите, сколько точек с целочисленными координатами находятся внутри области, которая ограничена линией, заданной алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.
Решение по шагам
3 шагаПоследовательно выполняем команды Черепахи и строим ломаную на координатной плоскости. При поворотах на 45 градусов направления становятся диагональными, поэтому в координатах появляются выражения с $\sqrt{2}$.
$$x'=x+l\cos\alpha,\quad y'=y+l\sin\alpha$$После построения всей траектории выделяем ограниченную линией область. Перебираем точки с целыми координатами в её ограничивающем прямоугольнике и проверяем, лежит ли каждая точка строго внутри области.
При подсчёте исключаем все точки, лежащие на отрезках границы. Число точек, оставшихся внутри области, равно 261.
Где здесь ошибаются
Не учитывать начальный поворот Направо 45.
Путать направление поворота по часовой стрелке и против часовой стрелки.
Включать в ответ точки, лежащие на линии границы.
Считать только вершины ломаной, а не все целочисленные точки внутри области.