Решение: Выигрышный первый ход Вани
Документ к заданиюИнструкция к заданиям
Прочитайте текст и выполните задания.
В начальный момент в куче было $S$ камней, $1 \le S \le 28$. За один ход можно добавить один камень или увеличить количество камней в два раза. Игра заканчивается, когда количество камней становится не менее 29. Укажите такое значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но после любого его хода Ваня может выиграть своим первым ходом.
Используйте общий материал, приведённый отдельно.
Решение по шагам
4 шагаПетя не может выиграть за один ход. При $S \le 14$ удвоение не даёт 29 или больше, а добавление одного камня тем более не приводит к победе.
После добавления одного камня Петя оставляет в куче $S+1$ камней. Чтобы Ваня мог выиграть удвоением, необходимо $2(S+1) \ge 29$, то есть $S \ge 14$.
После удвоения Петя оставляет $2S$ камней. Чтобы Ваня мог выиграть следующим ходом, необходимо $2S+1 \ge 29$ или $4S \ge 29$. При целых $S$ достаточно условия $2S \ge 15$, то есть $S \ge 8$.
Совместно с условием $S \le 14$ получаем единственное значение $S=14$. После ходов Пети получаются кучи из 15 или 28 камней; Ваня соответственно удваивает 15 или добавляет один камень к 28.
Где здесь ошибаются
Проверяют только один из возможных ходов Пети.
Считают выигрышным значение $S=15$, хотя при нём Петя сам выигрывает удвоением.
Забывают, что Ваня должен иметь выигрыш после любого хода Пети.