Решение: Подсчёт программ исполнителя
Исполнитель Кантата преобразует число на экране. У исполнителя есть три команды: 1) прибавить 1; 2) прибавить 2; 3) умножить на 3. Программа для исполнителя Кантата — это последовательность команд.
Сколько существует программ, для которых при исходном числе 2 результатом является число 19 и при этом траектория вычислений содержит число 9, но не содержит число 12?
Траектория вычислений программы — это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 123 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 8, 10, 30.
Решение по шагам
5 шаговПоскольку все команды увеличивают число, любая программа, проходящая через 9, сначала достигает 9, а затем движется к 19. Поэтому количество подходящих программ равно произведению числа путей от 2 до 9 и числа путей от 9 до 19, не проходящих через 12.
$$N = N_{2\to 9} \cdot N_{9\to 19}$$Обозначим через $f(n)$ количество способов получить число $n$ из 2. Используем переход по последней команде: прибавление 1, прибавление 2 или умножение на 3.
$$f(n)=f(n-1)+f(n-2)+\begin{cases}f(n/3),& n\text{ кратно }3\\0,&\text{иначе}\end{cases}$$Последовательное вычисление даёт $f(9)=25$, то есть существует 25 путей от 2 до 9.
Для путей от 9 до 19 запрещаем состояние 12, принимая число путей в 12 равным нулю. Последовательность количеств для чисел от 9 до 19 имеет вид $1,1,2,0,2,2,4,6,10,16,26$.
$$N_{9\to 19}=26$$Перемножаем количества вариантов двух частей программы.
$$N=25\cdot 26=650$$Где здесь ошибаются
Не исключают пути, проходящие через число 12.
Складывают количество путей вместо умножения количества вариантов до 9 и после 9.
Забывают учитывать команду умножения на 3.