Шешімі: Подсчёт логических наборов
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, \ldots, x_7, y_1, y_2, \ldots, y_5$, которые удовлетворяют всем приведённым ниже условиям?
$$(x_i \land y_j \to x_i \land y_{j+1}) \land (x_i \land y_j \to x_{i+1} \land y_j)=1$$
для всех натуральных $i$ и $j$, таких, что $i<7$ и $j<5$.
Шешім по шагам
4 қадамВсего логических переменных двенадцать: $x_1,\ldots,x_7$ и $y_1,\ldots,y_5$. Поэтому полный перебор содержит $2^{12}=4096$ наборов.
$$2^{7+5}=2^{12}=4096$$Для каждого набора значений проверяем условия для всех $i=1,\ldots,6$ и $j=1,\ldots,4$. Всего проверяется $6\cdot4=24$ выражения.
Импликация $A\to B$ принимает значение $0$ только при $A=1$ и $B=0$. Поэтому набор засчитывается только в том случае, если для каждой пары $(i,j)$ обе импликации истинны.
После проверки всех $4096$ наборов условию удовлетворяют $340$ наборов.
Где здесь ошибаются
Проверяют только одну импликацию вместо обеих.
Перебирают индексы $i$ до $7$ или $j$ до $5$, хотя условия заданы только при $i<7$ и $j<5$.
Забывают, что импликация ложна только при истинном условии и ложном заключении.