Решение: Восстановление таблицы истинности
Миша заполнял таблицу истинности логической функции $F = ((w \to y) \to x) \lor \lnot z$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных $w$, $x$, $y$, $z$.
| Столбец 1 | Столбец 2 | Столбец 3 | Столбец 4 | $F$ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | |||
| 0 | 0 | |||
| 1 | 0 | 0 | 0 |
Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных $w$, $x$, $y$, $z$.
Решение по шагам
4 шагаТак как во всех трёх строках $F = 0$, оба слагаемых дизъюнкции должны быть равны нулю. Поэтому $\lnot z = 0$, то есть $z = 1$, а также $(w \to y) \to x = 0$.
$$F = 0 \Rightarrow z = 1$$В третьей строке значения в столбцах 2, 3 и 4 равны соответственно $1$, $0$, $0$, а во второй строке значение в столбце 2 равно $0$. Единственным возможным столбцом для $z$ является первый столбец.
$$z = \text{столбец 1}$$Импликация $(w \to y) \to x$ равна нулю только при $x = 0$ и $w \to y = 1$. Столбец 2 не может быть $x$, поскольку в третьей строке он равен $1$. Столбец 3 не может быть $x$, поскольку в первой строке он равен $1$. Следовательно, $x$ — столбец 4.
$$x = \text{столбец 4}$$В третьей строке в столбцах 2 и 3 стоят значения $1$ и $0$. Чтобы $w \to y = 1$, переменной $w$ должен соответствовать столбец 3, а переменной $y$ — столбец 2.
$$w = \text{столбец 3},\quad y = \text{столбец 2}$$Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что дизъюнкция равна нулю только при нулевых значениях обоих выражений.
Неверно определяют условие ложности импликации: $A \to B = 0$ только при $A = 1$ и $B = 0$.
Путают порядок переменных в ответе с порядком их записи в формуле.