Шешімі: Восьмеричные числа с ограничениями
Определите количество восьмеричных пятизначных чисел, которые не начинаются с нечётных цифр, не оканчиваются цифрами 2 или 6, а также содержат не более двух цифр 7.
Шешімін қадамдап көрсету
4 қадамПервая цифра не может быть нечётной и не может быть нулём, поэтому для неё доступны цифры $2, 4, 6$: всего 3 варианта. Последняя цифра не может быть равна 2 или 6, поэтому доступны 6 вариантов: $0, 1, 3, 4, 5, 7$. Каждая из трёх средних цифр может быть любой из 8 восьмеричных цифр.
$$N_0=3\cdot6\cdot8^3=9216$$Вычтем числа, содержащие не менее трёх цифр 7. Первая цифра не может быть равна 7. Если последняя цифра не равна 7, то все три средние цифры равны 7: $3\cdot5=15$ чисел.
$$N_1=3\cdot5=15$$Если последняя цифра равна 7, то среди трёх средних цифр должны быть хотя бы две цифры 7. Это даёт $\binom{3}{2}\cdot7+1=22$ вариантов для средних цифр, а первая цифра выбирается 3 способами.
$$N_2=3\cdot\left(\binom{3}{2}\cdot7+1\right)=66$$Чисел с не менее чем тремя цифрами 7 всего $15+66=81$. Вычитаем их из общего количества.
$$N=9216-81=9135$$Где здесь ошибаются
Разрешают цифру 0 на первом месте.
Считают цифру 7 допустимой в первой позиции, хотя она нечётная.
Вычитают только числа ровно с тремя цифрами 7 и не учитывают число с четырьмя цифрами 7.