Числа по маске и делимость

ЕГЭ · Информатика · Задание 25 · Теория чисел

ВысокаяФИПИB19643Короткий ответ≈ 5 минут

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины, в том числе пустую. Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих $10^8$, найдите все числа, соответствующие маске 123*678, делящиеся на 13 без остатка. Запишите найденные числа в порядке возрастания, а для каждого числа — результат его деления на 13.

Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить

Впишите правильный ответ.

Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы:

– символ «?» означает ровно одну произвольную цифру;

– символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины; в том числе «*» может задавать
и пустую последовательность.

Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.

Среди натуральных чисел, не превышающих 10⁸, найдите все числа, соответствующие маске 123*678, делящиеся на 13 без остатка.

В ответе запишите в первом столбце таблицы все найденные числа
в порядке возрастания, а во втором столбце – соответствующие им результаты деления этих чисел на 13.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.

Ваш ответ

Вставьте пропущенное слово в нужной форме.

3 уровня: от лёгкого толчка до почти готового решения. Следующий открывается, когда прочитан предыдущий, — чтобы не перепрыгнуть сразу к ответу.

1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3

Какие длины могут иметь числа, соответствующие маске 123*678 и не превышающие $10^8$?

2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3

Рассмотрите отдельно случаи пустой последовательности, одной цифры и двух цифр вместо символа «*». Для проверки делимости используйте остатки по модулю 13.

3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3

Для одной цифры получаем $1230678 + 1000a$, а для двух цифр — $123000678 + 1000b$. Так как $1000 \equiv -1 \pmod{13}$, найдите подходящие значения $a$ и $b$.

Всё равно не складывается?Полное решение с обоснованием каждого шага — на отдельной странице.

Открыть решение

ПредыдущаяМаска числа и делимостьСледующаяЧисла по маске 1234*7

Задание 25 ЕГЭ, информатика