Решение: Числа по маске и делимость
Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины, в том числе пустую. Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.
Среди натуральных чисел, не превышающих $10^8$, найдите все числа, соответствующие маске 123*678, делящиеся на 13 без остатка. Запишите найденные числа в порядке возрастания, а для каждого числа — результат его деления на 13.
Решение по шагам
5 шаговПустая последовательность вместо «*» даёт число 123678, но оно не делится на 13.
При одной цифре вместо «*» получаем числа $1230a678 = 1230678 + 1000a$, где $a$ принимает значения от 0 до 9. Так как $1000 \equiv -1 \pmod{13}$, условие делимости выполняется при $a = 7$. Получаем число 1237678.
При двух цифрах вместо «*» получаем числа $12300ab678 = 123000678 + 1000b$, где $b$ принимает значения от 0 до 99. По модулю 13 условие выполняется при $b = 8, 21, 34, 47, 60, 73, 86, 99$.
Соответствующие числа в порядке возрастания: 123008678, 123021678, 123034678, 123047678, 123060678, 123073678, 123086678, 123099678.
Делим найденные числа на 13 и записываем частные.
1237678 / 13 = 951?; 123008678 / 13 = 9462206; 123021678 / 13 = 9463206; 123034678 / 13 = 9464206; 123047678 / 13 = 9465206; 123060678 / 13 = 9466206; 123073678 / 13 = 9467206; 123086678 / 13 = 9468206; 123099678 / 13 = 9469206
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не рассмотреть пустую, одноцифровую и двузначную последовательности вместо символа «*».
Допустить числа, превышающие $10^8$.
Перепутать найденные числа с результатами их деления на 13.