Шешімі: Логическое выражение с параметром
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение $(48 \ne y + 2x) \lor (A < x) \lor (A < y)$ тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?
Шешім по шагам
5 қадамДизъюнкция может принимать значение 0 только тогда, когда все три её части равны 0.
$$(48 \ne y + 2x) = 0,\quad (A < x) = 0,\quad (A < y) = 0$$Следовательно, для ложности выражения должны одновременно выполняться условия:
$$y + 2x = 48,\quad x \leq A,\quad y \leq A$$Если $x \leq A$ и $y \leq A$, то максимальное значение левой части равенства $y + 2x$ равно $3A$.
$$y + 2x \leq A + 2A = 3A$$Чтобы равенство $y + 2x = 48$ было невозможно, необходимо $3A < 48$, то есть $A < 16$. Наибольшее целое неотрицательное значение — $A = 15$.
$$A < 16 \Rightarrow A_{\max} = 15$$При $A = 16$ выражение действительно может быть ложным при $x = 16$ и $y = 16$, поскольку $48 = 16 + 2 \cdot 16$.
$$48 = 16 + 2 \cdot 16$$Где здесь ошибаются
Забывают, что для ложности дизъюнкции должны одновременно выполняться все три отрицания.
Ищут минимальное значение параметра вместо наибольшего.
Не проверяют значение $A = 16$, при котором существуют $x = 16$ и $y = 16$.