Решение: Нечётные цифры в строке
Цепочки символов (строки) создаются по следующему правилу.
Первая строка состоит из одного символа — цифры «1».
Каждая из последующих цепочек создаётся следующим действием: в очередную строку дважды записывается предыдущая цепочка цифр (одна за другой, подряд), а в конец приписывается ещё одно число — номер строки по порядку (на $i$-м шаге дописывается число «$i$»).
Вот первые 4 строки, созданные по этому правилу:
(1) 1
(2) 112
(3) 1121123
(4) 112112311211234
Сколько раз в общей сложности встречаются в восьмой строке нечётные цифры (1, 3, 5, 7, 9)?
Решение по шагам
3 шагаПусть $a_n$ — количество нечётных цифр в $n$-й строке. При переходе к следующей строке предыдущая строка записывается дважды.
$$a_n = 2a_{n-1} + d(n)$$Здесь $d(n)$ — количество нечётных цифр в записи числа $n$. Для чисел от 2 до 8 значения $d(n)$ равны $0, 1, 0, 1, 0, 1, 0$ соответственно.
$$a_1=1$$Вычисляем количество нечётных цифр в строках последовательно:
$$a_2=2\cdot1=2;\ a_3=2\cdot2+1=5;\ a_4=2\cdot5=10;\ a_5=2\cdot10+1=21;\ a_6=2\cdot21=42;\ a_7=2\cdot42+1=85;\ a_8=2\cdot85=170$$Где здесь ошибаются
Учитывают только цифры, добавляемые в конец строк, и забывают о двух копиях предыдущей строки.
Ошибочно считают цифру 2 или 4 нечётной.
При переходе к следующей строке умножают количество нечётных цифр на 2, но не учитывают добавляемое число.