Решение: Определение столбцов таблицы истинности
Миша заполнял таблицу истинности функции $((x \land \neg y) \lor (y \equiv z) \lor w)$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных $w$, $x$, $y$, $z$. Определите соответствие столбцов переменным.
| Столбец 1 | Столбец 2 | Столбец 3 | Столбец 4 | Значение функции |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | |||
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
Решение по шагам
4 шагаТак как функция принимает значение $0$, каждое выражение в её дизъюнкции должно быть равно нулю. Поэтому $w=0$, $y \ne z$, а $x \land \neg y=0$.
$$w=0,\quad y\ne z,\quad x\land\neg y=0$$Третий столбец содержит значение $0$ во всех трёх строках. Первый, второй и четвёртый столбцы не могут соответствовать $w$: в первом и четвёртом есть значение $1$, а во втором во всех строках стоит $1$. Следовательно, третий столбец — это $w$.
Во второй строке значения первых, второго и четвёртого столбцов равны $0$, $1$, $0$. Переменные $y$ и $z$ должны иметь разные значения, поэтому второй столбец соответствует $y$, а один из первого и четвёртого — $z$.
Если четвёртый столбец соответствует $z$, то получаем первый столбец — $x$, второй — $y$, четвёртый — $z$. Во всех трёх строках выполняются условия функции: $w=0$, $y\ne z$ и $x\land\neg y=0$.
Где здесь ошибаются
Забывают, что при значении функции $0$ каждое слагаемое дизъюнкции должно быть равно нулю.
Неверно трактуют эквивалентность $y \equiv z$: для её отрицания переменные $y$ и $z$ должны иметь разные значения.
Записывают переменные не в порядке столбцов, а в порядке, указанном в условии.