Шешімі: Логическое выражение с делимостью
Обозначим через $\mathrm{ДЕЛ}(n,m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$». Для какого наибольшего натурального числа $A$ логическое выражение $\neg\mathrm{ДЕЛ}(x,A)\to(\mathrm{ДЕЛ}(x,36)\to\neg\mathrm{ДЕЛ}(x,54))$ тождественно истинно при любом неотрицательном целом значении переменной $x$?
Шешім по шагам
3 қадамИмпликация $\mathrm{ДЕЛ}(x,36)\to\neg\mathrm{ДЕЛ}(x,54)$ ложна, когда число $x$ делится и на $36$, и на $54$.
$$36\mid x\ \text{и}\ 54\mid x$$Такие числа являются кратными наименьшему общему кратному чисел $36$ и $54$.
$$\operatorname{НОК}(36,54)=108$$Чтобы исходная импликация оставалась истинной, любое число, кратное $108$, должно делиться на $A$. Это выполняется, если $A$ является делителем $108$. Наибольший такой делитель — само число $108$.
$$A=108$$Где здесь ошибаются
Использовать наибольший общий делитель вместо наименьшего общего кратного.
Забыть, что для истинности исходного выражения все числа, кратные $108$, должны делиться на $A$.