Решение: Минимальная длина отрезка
На числовой прямой даны два отрезка: $P = [15; 40]$ и $Q = [21; 63]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение $((x \in P) \to (((x \in Q) \land \neg(x \in A)) \to \neg(x \in P)))$ истинно при любом значении переменной $x$.
Решение по шагам
4 шагаЕсли $x \notin P$, первая импликация истинна автоматически. Поэтому достаточно рассмотреть точки $x \in P$.
$$x \in P \Rightarrow (((x \in Q) \land \neg(x \in A)) \to \neg(x \in P))$$При $x \in P$ заключение внутренней импликации $\neg(x \in P)$ ложно. Чтобы импликация была истинной, её условие должно быть ложным: точка не может одновременно принадлежать $Q$ и не принадлежать $A$.
$$(x \in P) \land (x \in Q) \Rightarrow x \in A$$Следовательно, отрезок $A$ должен содержать пересечение отрезков $P$ и $Q$.
$$P \cap Q = [15;40] \cap [21;63] = [21;40]$$Наименьший подходящий отрезок $A$ — это $[21;40]$. Вычисляем его длину.
$$|A| = 40 - 21 = 19$$Где здесь ошибаются
Рассматривать только отрезок $Q$ вместо пересечения $P \cap Q$.
Забыть, что при $x \in P$ выражение $\neg(x \in P)$ ложно.
Вычислить длину отрезка как $40 - 21 + 1$, учитывая количество целых точек вместо геометрической длины.