Решение: Подсчёт программ исполнителя Плюс
Исполнитель Плюс преобразует число на экране. У исполнителя есть две команды: прибавить 2 и прибавить 5. Программа для исполнителя Плюс — это последовательность команд. Сколько существует программ, которые число 1 преобразуют в число 20?
Решение по шагам
6 шаговОбщая величина увеличения числа должна составить $20 - 1 = 19$.
Пусть команда «прибавить 2» выполнена $a$ раз, а команда «прибавить 5» — $b$ раз. Тогда $2a + 5b = 19$.
Неотрицательные целые решения этого уравнения: $(a,b) = (7,1)$ и $(a,b) = (2,3)$.
Для решения $(7,1)$ всего 8 команд, одну команду можно выбрать для размещения команды «прибавить 5»: $\binom{8}{1} = 8$.
Для решения $(2,3)$ всего 5 команд, три позиции занимают команды «прибавить 5»: $\binom{5}{3} = 10$.
Складываем количества программ для двух вариантов состава команд: $8 + 10 = 18$.
Где здесь ошибаются
Учитывают только возможные количества команд, но не считают разные порядки их выполнения.
Забывают вариант с двумя командами «прибавить 2» и тремя командами «прибавить 5».
Считают программы с одинаковым набором команд одной программой независимо от порядка.