Шешімі: Минимальная длина отрезка
На числовой прямой даны два отрезка: $P = [17; 54]$ и $Q = [37; 83]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, что логическое выражение $$(x \in P) \to (((x \in Q) \land \neg(x \in A)) \to \neg(x \in P))$$ истинно при любом значении переменной $x$.
Шешім по шагам
4 қадамЕсли $x \notin P$, внешняя импликация истинна автоматически. Поэтому достаточно рассмотреть $x \in P$.
При $x \in P$ высказывание $\neg(x \in P)$ ложно. Чтобы внутренняя импликация оставалась истинной, её левая часть должна быть ложной: $(x \in Q) \land \neg(x \in A) = 0$.
$$(x \in P) \cap (x \in Q) \subseteq (x \in A)$$Следовательно, отрезок $A$ должен содержать пересечение отрезков $P$ и $Q$.
$$P \cap Q = [37; 54]$$Минимальный подходящий отрезок $A$ совпадает с пересечением $P \cap Q$, поэтому его длина равна:
$$|A| = 54 - 37 = 17$$Где здесь ошибаются
Рассматривать только пересечение отрезков, но забывать, что оно должно входить в $A$.
Вычислять длину как $54 - 37 + 1$, считая целые точки вместо длины отрезка.
Пытаться анализировать значения $x \notin P$, хотя при них внешняя импликация истинна автоматически.