Решение: Восстановление столбцов таблицы истинности
Миша заполнял таблицу истинности логической функции $F = ((w \to y) \to (x \equiv y)) \lor \neg z$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных $w$, $x$, $y$, $z$. Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных $w$, $x$, $y$, $z$.
| Столбец 1 | Столбец 2 | Столбец 3 | Столбец 4 | $F$ |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 0 | |
| 0 | 0 | 0 | ||
| 1 | 1 | 0 |
Решение по шагам
4 шагаВо всех трёх строках значение функции равно нулю. Поэтому оба слагаемых дизъюнкции должны быть равны нулю: $\neg z = 0$, а значит, $z = 1$.
$$F = 0 \Rightarrow z = 1$$Для ложности импликации $(w \to y) \to (x \equiv y)$ необходимо, чтобы её посылка была истинной, а заключение ложным.
$$w \to y = 1, \quad x \equiv y = 0$$Следовательно, $x \ne y$. Вторая строка имеет вид $0,\ ?,\ 1,\ 0$ после определения третьего столбца как $z$: здесь подходят $x=0$, $y=1$, $w=0$.
С учётом первой и третьей строк получаем соответствие столбцов: первый — $x$, второй — $y$, третий — $z$, четвёртый — $w$.
Где здесь ошибаются
Забывают, что при значении дизъюнкции $0$ оба её слагаемых должны быть равны нулю.
Путают условие ложности импликации с условием истинности.
Не учитывают, что $x \equiv y = 0$ означает разные значения $x$ и $y$.