Ответ: Стратегии в игре с камнями
1а) $S=30,31,\ldots,59$. 1б) Например, $S=28$; Ваня после позиций 30, 31 и 56 удваивает количество камней. 2) $S=14,25,26,27$. 3) $S=19$; стратегия Вани: из 21 перейти в 24, из 22 перейти в 24, из 38 удвоить количество камней, затем после ходов из 24 переходить в 28, 29 или 96 соответственно.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с кучей камней. За один ход игрок может добавить в кучу 2 или 3 камня либо увеличить количество камней в куче в 2 раза. Игра завершается, когда количество камней становится не менее 60. Побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было $S$ камней, где $1 \leq S \leq 59$.
Выполните три задания и во всех случаях обоснуйте ответ.
Задание 1. Укажите все значения $S$, при которых Петя может выиграть в один ход. Укажите также значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но после любого его хода Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.
Задание 2. Укажите четыре значения $S$, при которых Петя не может выиграть за один ход, но может выиграть своим вторым ходом независимо от хода Вани. Для каждого значения опишите выигрышную стратегию Пети.
Задание 3. Укажите значение $S$, при котором Ваня может выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, но не может гарантированно выиграть первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани и постройте дерево всех партий, возможных при этой стратегии. В узлах дерева указывайте количество камней, на рёбрах — ходы. Дерево не должно содержать партии, невозможные при реализации выигрышной стратегии Вани.
Где здесь ошибаются
Считать, что при $S=29$ Петя может выиграть одним ходом: удвоение даёт только 58 камней.
В задании 2 указывать значения, для которых Петя уже выигрывает первым ходом.
Строить полное дерево игры вместо дерева только тех партий, которые возможны при выигрышной стратегии Вани.
Забывать, что после достижения 60 и более игра сразу заканчивается.