Ответ: Стратегии в игре с кучами
1а) $S=29,30,\ldots,57$. 1б) Минимальное значение $S=15$. 2) $S=26$; Петя первым ходом удваивает первую кучу: $(5,26)\to(10,26)$, после чего отвечает на любой ход Вани так, чтобы получить сумму не менее 63. 3) $S=15$; Ваня использует стратегию перевода в позиции $(12,15)$, $(20,15)$ или $(10,16)$, из которых выигрывает не позднее второго хода.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с двумя кучами камней. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в одной из куч в два раза. Игра завершается, когда суммарное количество камней становится не менее 63. Побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 5 камней, во второй — $S$ камней, где $1 \leq S \leq 57$. Требуется определить значения $S$ и описать выигрышные стратегии игроков в трёх случаях: победа Пети за один ход; победа Пети своим вторым ходом независимо от хода Вани; победа Вани первым или вторым ходом при любой игре Пети, если Ваня не может гарантированно выиграть первым ходом.
Где здесь ошибаются
Проверяют только удвоение второй кучи и забывают про увеличение первой кучи на один камень.
Считают выигрышным ход, после которого сумма становится меньше 63.
В задании 2 описывают только один ответ Вани, хотя необходимо обеспечить победу Пети после любого хода Вани.
В дерево игры включают партии, в которых Ваня отклоняется от своей выигрышной стратегии.
Путают номер хода игрока с номером общего хода: второй ход Пети — это третий ход партии.