Шешімі: Количество наборов логических переменных
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, \ldots, x_8, y_1, y_2, \ldots, y_8$, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
$(x_1 \land y_1) \equiv (\neg x_2 \lor \neg y_2)$
$(x_2 \land y_2) \equiv (\neg x_3 \lor \neg y_3)$
$\ldots$
$(x_7 \land y_7) \equiv (\neg x_8 \lor \neg y_8)$
Шешімін қадамдап көрсету
4 қадамВведём обозначение $a_i = x_i \land y_i$. Тогда по закону де Моргана каждое условие принимает вид:
$$a_i \equiv \neg(x_{i+1} \land y_{i+1}) = \neg a_{i+1}$$Следовательно, значения $a_i$ должны чередоваться. Возможны только два шаблона:
$$1,0,1,0,1,0,1,0 \quad \text{или} \quad 0,1,0,1,0,1,0,1$$Если $a_i=1$, то $x_i=1$ и $y_i=1$, поэтому существует один набор значений пары. Если $a_i=0$, то возможны пары $(0,0)$, $(0,1)$ и $(1,0)$ — всего три набора.
$$1^4 \cdot 3^4 = 81$$Для каждого из двух шаблонов число наборов одинаково, поэтому общее количество равно:
$$2 \cdot 81 = 162$$Где здесь ошибаются
Не учесть два возможных чередующихся шаблона значений.
Считать для $x_i \land y_i=0$ только два набора вместо трёх.
Принять выражение $\neg x_i \lor \neg y_i$ за независимое от $x_i \land y_i$, не применив закон де Моргана.