Шешімі: Подсчёт наборов логических переменных
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, \ldots, x_6, y_1, y_2, \ldots, y_6$, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
$(x_1 \land \neg x_2) \lor (\neg y_1 \land y_2) \lor (\neg x_1 \land \neg y_1) = 0$
$(x_2 \land \neg x_3) \lor (\neg y_2 \land y_3) \lor (\neg x_2 \land \neg y_2) = 0$
$\ldots$
$(x_5 \land \neg x_6) \lor (\neg y_5 \land y_6) \lor (\neg x_5 \land \neg y_5) = 0$
$\neg x_6 \land \neg y_6 = 0$.
В качестве ответа укажите количество таких наборов.
Шешім по шагам
5 қадамКаждая дизъюнкция равна нулю, значит все её конъюнкции равны нулю. Из условий $x_i \land \neg x_{i+1}=0$ следует $x_i \le x_{i+1}$, поэтому последовательность $x$ неубывает.
$$x_1 \le x_2 \le \ldots \le x_6$$Из условий $\neg y_i \land y_{i+1}=0$ следует $y_i \ge y_{i+1}$, поэтому последовательность $y$ невозрастает.
$$y_1 \ge y_2 \ge \ldots \ge y_6$$Условия $\neg x_i \land \neg y_i=0$ и $\neg x_6 \land \neg y_6=0$ означают, что для каждого номера $i$ хотя бы одна из переменных $x_i$ и $y_i$ равна 1.
$$x_i \lor y_i = 1$$Последовательность $x$ определяется числом $a$ начальных нулей, где $0 \le a \le 6$. Последовательность $y$ определяется числом $b$ начальных единиц, где $0 \le b \le 6$. Чтобы нулевые участки не пересекались, необходимо и достаточно, чтобы $b \ge a$.
$$0 \le a \le b \le 6$$Число пар $(a,b)$ равно числу сочетаний с повторениями либо сумме количества допустимых значений $b$ для каждого $a$.
$$7+6+5+4+3+2+1=28$$Где здесь ошибаются
Считать независимые варианты для каждой пары $x_i, y_i$, не учитывая монотонность последовательностей.
Перепутать направление монотонности последовательностей $x$ и $y$.
Не включить случаи с нулём начальных нулей или нулём начальных единиц.